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1、数字信号处理 第四章 IIR 数字滤波器设计和实现习题解答4.1 根据给定的模拟滤波器的幅度响应平方，确定模拟滤波器的系统函数 H(s)。(1) (2) 分析：在模拟滤波器设计中，由各种逼近方法确定了幅度响应，通过下列步骤求出滤波器的系统函数H(s)。更进一步，通过脉冲响应不变法或双线性变换法，可以得到数字滤波器的传输函数 H(z)。（1）考虑，将幅度响应表达式整理为s为变量的表达式，求 表达式的零极点；（2）为了系统稳定，选择左半平面的极点构成 H(s)；（3）如果没有特殊要求，可以选择取 以虚轴为对称轴的对称零点的任意一半（应是共轭对）作为 Ha(s) 的零点。但如果要求是最小相位延时滤波
2、器，则应取左半平面零点作为 Ha(s) 的零点。（4）对比和 的低频特性或高频特性，从而确定增益常数K0。解：（1）由于是非负有理函数，它在轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，先求其极点为我们选出左半平面极点s=0.5和 为的极点，并设增益常数为，则得为：按着和的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由的条件可得增益常数为：最后得到为：（2）由于是非负有理函数，它在轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，得其极点为： 其零点为：（皆为二阶，位于虚轴上） 虚轴上的零点或极点一定是二阶的，其中一半（应为共轭对）属于 Ha(s)。我们选出左半平面极点
3、 及一对虚轴零点为的作为 Ha(s) 的零、极点，并设增益常数为，则得为： 在这里我们采用低频特性的对比可以确定增益常数，即由 的条件可得增益常数为：最后得到为：4.2 设计一个模拟巴特沃斯低通滤波器。给定的技术要求为： 通带最高频率 fp = 500Hz，通带衰减要不大于 3dB。阻带起始频率 fs = 1kHz，阻带内衰减要不小于 40dB分析：根据巴特沃思滤波器的幅度响应表达式和给定的幅度响应的性能指标，确定巴特沃斯低通滤波器的阶数和极点等特性参数，然后选择左半平面上的极点构成滤波器的系统函数，以保证所设计滤波器的稳定性。解：由给定的参数可以得到此滤波器的频率相应形式为：由式（4.8）得
4、 为由式 (4.9) 得滤波器得阶数为：取整后，得 N=7。由式（4.13）得 H(p)H(-p) 的极点为：所以，(此步也可以通过表4.2 查表获得)最后4.3 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，给定的技术要求为： 通带最高频率 fp = 500Hz，通带衰减要不大于 1dB。 阻带起始频率 fs = 1kHz，阻带内衰减要不小于 40dB。分析：此题与4.2 类似，只是滤波器类型变为了切比雪夫逼近。根据切比雪夫滤波器的幅度响应表达式和给定的性能指标，确定滤波器的阶数和极点等参数，然后选择左半平面上的极点作为滤波器系统函数H(s) 的极点。解： 由式（4.18）得切比雪夫滤波器的参数 为： 而
5、由式（4.19）得滤波器阶数 N 为：，取整数 N5。由式（4.21）和（4.22），求得归一化的传输函数 H(p)： 其中， 于是得，(此步也可以通过表4.4 查表获得)最后，实际的传输函数H(s) 为：4.4 分别用巴特沃思、切比雪夫逼近设计一个带通滤波器满足下面的条件： 分析：此题考察的非低通滤波器的设计方法。此题要求设计的是带通滤波，因此首先需要通过模拟频率变换，把带通滤波器的性能指标变换为低通滤波器的性能指标，然后再设计相应的低通滤波器。对于低通滤波器的设计，与4.2、4.3 题类似。最后把得到低通滤波器的系统函数 Hl(s) 按着模拟频率变换转化为所要求类型的滤波器系统函数 Hd(
6、s)。解：因为，所以第一步是确定几何对称的带通滤波器，这样得到 根据表4.6，将已知条件中的带通技术要求转化为相应的归一化低通技术要求，有（1）巴特沃思逼近：根据上面的技术要求，可以由求得，有了，可以由 确定最小的滤波器阶数。计算得：当n4时，计算出归一化巴特沃思多项式的零点 因此，低通滤波器的归一化传输函数 HLP(p) 为： 根据表4.6，把归一化低通滤波器变成所要求的带通滤波器的传输函数 HBP(s)：（2）切比雪夫逼近：根据上前面的技术要求，分别用和计算和n的值，得到： 查表4.4的c栏，得的分母多项式，然后获得低通滤波器的归一化传输函数 HLP(p)：把归一化低通滤波器变换成带通滤波
7、器，相应的带通滤波器的传输函数为：4.5 一个采样数字处理低通滤波器如图 P4.1 所示。H(z) 的截止频率为 wc = 0.2，整个系统相当于一个模拟低通滤波器，今取样频率为 fs = 1kHz，问等效模拟低通滤波器的截止频率fc为多少？A/DH(z)D/Axa(t)ya(t)x(n)y(n)图 P4.1 若取样频率分别该为 fs = 5kHz，200Hz，而 H(z) 不变，问这时等效低通滤波器的截止频率又为多少？分析：理解模拟滤波器与仿真的数字滤波器的关系，即模拟频率和数字频率之间的关系 。在进行数字滤波器设计时，其幅度响应 |H(ejw)| 的设计或形状不依赖于取样频率，但所选的取样
8、频率将影响滤波器的输入频率范围。事实上，以数字频率 表示的数字滤波器特性，只有当取样频率选定后才能确定其实际所能通过的信号频率。解： 4.6 用冲激不变法将以下 H(s) 转换为 H(z)，采样周期为 T0。（1）（2）（3） m 为任意正整数。分析：考察对冲激响应不变法的应用。如果H(s) 容易用部分分式展开，表示成 形式，则可以直接把模拟极点 si 转换成数字极点 esiT，增益系数 Ai 保持不变，得到相应的数字滤波器的传输函数；有时需要进行必要的变换，根据冲激响应不变法准则，一步一步求得 H(z)，如题（2）、（3）。解：（1）极点待定系数法，部分分式展开：比较各项系数得： 得所以根据
9、冲激响应不变准则，得：或 （2） （3） 4.7 用冲激响应不变法及双线性变换法将下面模拟系统函数变为数字系统函数 H(z)，采样周期为 T = 0.5。（1） （2）（3）分析：与4.6题类似，理解冲激响应不变法和双线性变换法在模拟系统函数的s平面和离散系统函数的z平面映射的各自特点。冲激响应不变法：H(s) 部分分式展开，对应得到 双线性变换法：通过变量置换，把模拟传输函数H(s) 直接变为数字滤波器的传输函数 H(s)。双线性变换法的主要优点是使模拟系统函数的s平面和离散系统函数的z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱混叠现象；变换简单；适用于各种类型滤波器设计。解：（1） 利用冲激响应
10、不变法=直接利用 式可以得到数字滤波器的系统函数为：因为T=0.5，于是有：利用双线性变换法 有：(2) 利用冲激响应不变法直接利用 式可以得到数字滤波器的系统函数为：因为T=0.5，于是有：利用双线性变换法 有：(3) 利用冲激响应不变法设 解得，于是解得利用双线性变换法 有：4.8 用冲激响应不变法把冲激响应为 的模拟滤波器转换为对应的数字滤波器。(1) 分别对 T=1.0秒和 T=0.5秒两种取样间隔，求数字滤波器幅度响应 |H(ejw)| 的表达式；(2) 画出上述数字滤波器的幅度响应，并与模拟滤波器幅度响应进行比较。模拟滤波器幅度响应为 ，范围为从 0 到 4Hz，两个滤波器定标直流
11、增益为 1。分析：理解频率响应的概念：在单位圆上的z变换。故可以先利用冲激响应不变法，由模拟滤波器的冲激响应 h(t) 求出数字滤波器的系统函数H(z)，将其映射到单位圆上即可得到数字滤波器的频率响应H(ejw)。解：(1) 的拉普拉斯变换为：利用 式可以得到数字滤波器的系统函数。当T=1.0时当T=0.5时数字滤波器的幅度响应 模拟滤波器的幅度响应4.9 把下面模拟低通滤波器的传输函数 H(s)，用冲激响应不变法变换为数字滤波器的传输函数，取样频率为 ，写出模拟滤波器和数字滤波器的幅度响应。 分析：在模拟域中，S 平面中虚轴 上的拉普拉斯变换就是连续傅立叶变换，即模拟滤波器的频率响应为 ；而
12、在离散域中，Z 平面中单位圆 上的 Z 变换就是离散时间傅立叶变换，即数字滤波器的频率响应为 。解： 模拟滤波器的系统函数展开为：模拟滤波器的频率响应为：则模拟滤波器的幅度响应特性为：用冲激响应不变法，取样频率为得到的数字滤波器传输函数为：数字滤波器的频率响应为：幅度响应特性为：4.10 设取样频率为 10kHz，用冲激响应不变法设计一个数字低通巴特沃思滤波器，要求通带边缘频率为 1kHz，通带衰减不大于1dB，阻带边缘频率为 1.5kHz，阻带衰减不小于 15dB。分析：数字滤波器的性能指标可以以模拟频率（单位Hz）表示，也可以数字频率（单位为弧度）表示。不管采用何种频率表示，其幅度响应 |
13、H(ejw)| 形状都是一样的。如同4.5题， 只有当取样频率选定后才能确定其实际所能通过的信号频率。 本题的性能指标就是以模拟频率表示的，因此，需要根据冲激响应不变法中模拟角频率和数字角频率之间的关系，得到模拟角频率，然后设计相应的模拟的低通滤波器。最后通过冲激响应不变法得到数字低通滤波器。解：冲激响应不变法，模拟频率与数字频率之间是线性关系， 对应于 ， 对应于 ，取整得N=6所以归一化频率的参考频率 查巴特沃思多项式系数表，当时，归一化原型模拟低通巴特沃思滤波器的频率响应为：将p用 代入可得到截至频率为的模拟低通滤波器，把展开成部分分式，利用冲激响应不变法 可得到：4.11 用双线性变换
14、法设计一个数字低通巴特沃思滤波器，取样频率为 fs = 25kHz，-3dB 频率为 1kHz，在 12kHz 处阻带衰减为 -30dB。求其差分方程，并画出滤波器的幅度响应。分析：如同 4.10题，本题的性能指标就是以模拟频率（单位为Hz）表示的，首先根据模拟频率和数字频率之间的关系 ，把模拟频率变换为数字角频率（单位为弧度）。然后把数字角频率转换为模拟滤波器设计所需的模拟角频率。但由于在双线性变换中数字角频率 和模拟角频率 之间不是线性关系，引入了强烈的非线性。因此，在双线性变换法设计过程中必须进行频率预畸变 ，使得双线性变换后的频率正好映射到所需要的频率上。这是和脉冲响应不变法的一个重要区别。
