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1、毕业论文题 目： 函数在物理学中的应用 学生姓名： 李梅 学生学号： 系 别： 物理系 专 业： 物理学 届 别： 指引教师： 潘营利 函数在物理学中的应用研究系别：物理与电子信息系作者: 李梅指引教师：张春早摘 要：研究函数在物理学中的应用是运用数学措施解决物理问题的一种典例。作为奇异函数的一种，它在解决物理问题时显示了其特有的优越性。本文在简介函数定义及性质的基本上，分析了函数的物理意义，着重讨论了函数在物理学中的应用。列举了它在不同物理学科中的应用，从而对函数有更加全面的结识,以期对物理问题的数学解决有更高层次的理解和结识。核心词：函数；安培环路定理；杨氏干涉；归一化；势The appl
2、ication research of Delta function in physicsDepartment: Physics and Electronic Information DepartmentAuthor：Li MeiTutor：Zhang ChunzaoAbstract: Delta functions is a typical example solving physical problems by mathematical method. As a singular function, in solving physics problems it demonstrated u
3、nique advantages. This paper introduces the definition and properties of function, based on analysis of the physical meaning of function, focusing on the function in the application of physics. It cited the application of different physical disciplines, and thus function has a more comprehensive und
4、erstanding to the mathematical treatment of physical problems have a higher level of understanding and awareness.key words: function; Amperes cycle law; Youngs interference; normalization; potential前言在物理学中常常要解决某些涉及某种无穷大的量以及不持续函数的微分等问题，因而引入一种特殊的函数。这种函数最初于本世纪三十年代，由英国出名物理学家狄拉克（P.A.Dirac）在量子力学研究中引入和定义的，
5、即是目前的函数。由于函数的某些特殊性质，例如局部无限突变，整体积分有限性等，为我们解决某些抽象的物理问题提供了一种量化模型，从而使复杂的问题变得简朴。在电磁学，电动力学，光学，量子力学，电路等物理学的几大分支领域中我们都能看到它的身影。在物理学与数学联系日益密切的今天，大量的物理问题需要借助数学手段辅以解决，这无疑对我们用数学措施解决物理问题提出了更高的规定。本文简介了函数在物理学中的广泛应用，但愿通过这些可以给我们此后解决物理问题提供一种新的思路，使我们可以更加灵活变通的运用知识。1 函数的简介1.1 函数的定义在典型意义下，函数的老式定义【1】是 （1） （2）即函数的定义必须同步满足（1
6、）和（2）两式。数学性质上函数是很奇异的，没有一种平常的函数具有此奇异性。严格说来，它不是老式数学中的函数，它只是一种分布。在物理上是一种抱负的点模型。函数除有一维形式，尚有二维、三维等多维形式，这里只简朴简介二维形式： 1.2 函数的性质函数的性质【1】有：1、是偶函数,它的导数是奇函数 2、研究积分. 从函数的定义易知,当积分上限,积分值为0；当，积分值为1.称为阶跃函数或亥维赛单位函数。从而是的原函数，是的导数，.3、函数的挑选性，证明：对于任何， 根据1.1节（2）式，上式右边第一、三项为0.对中间一项应用中值定理，然后应用1.1节（2）式，即得其中为区间上的某个数值。4、5、函数的归
7、一性，1.3 函数在物理学中的重要意义在物理学和工程技术中，常常要考察质量、能量在空间或时间上高度集中的多种象。例如，在电学中，要研究线性电路受到具有脉冲【2】性质的电势作用后所产生的电流；在力学中，要研究机械系统受冲击力后的运动状况等。对于此类现象，人们设想了诸如质点、点电荷、偶极子以及瞬时源、瞬时脉冲、瞬时打击力等物理模型，函数就是专门用来描述此类物理模型的数学工具。例一：表达质点密度【3】设有一质量为m的质点，置于轴上的点，则质点沿轴的分布密度可以表达为验证：，且.例二： 表达脉冲电流设在电流为0的电路中，与时刻通入电量为的脉冲，电路中的脉冲电流可以表达为 验证：，且.例三：表达持续力对
8、于的持续力，将时间区间划分为许多小段，其中小段中的力的冲量可以表达为 .由于获得很小，在这时间作用的瞬时力可表达为，因此作用的持续力可以看作是这些瞬时力的积累，即 .2 函数在物理学中的应用2.1 函数在证明电磁学两大定理中的应用高斯定理和安培环路定理是电磁学中的两个重要定理。在教学中，它们既是重点，又是难点。而证明这两个定理【4】的对的性，则是理解和掌握它们的前提。大多电磁学教材中都是用无穷长载流导线的特例得出安培环路定理，然后说这个定理是普遍成立的，但不做证明。只有少数较深的教材给出了证明归结起来有三种：磁壳法，矢位法【5】和立体角法。繁琐并且不易理解。而高斯定理的证明则是一般的立体角法【
9、5】，也较繁琐。本文借助函数的性质，用解析措施简洁证明了两大定理，措施简朴，推导严密，便于理解。2.1.1 用函数证明安培环路定理 如图1，在有电流的闭合回路中任一点处的电流密度为，则由毕奥-萨伐尔定律【6】知，该回路中的电流在空间点产生的磁感应强度为 （1） 图1 B沿回路L的积分曲线示意图式中是源点位矢; ,为源点到场点的位矢,把对任意闭合回路求线积分,即得 （2） 由（1）式可得 （3）又由于 由于算符是对的微分算符,与无关,故上式右端第一、四项为0,因此上式右边第一项为0，由于 上式中，由于积分区域涉及所有的电流在内，没有电流流过区域的界面，因而上式中面积分为0；由于算符不作用于，故上
10、式右端的体积分也为0.因此， 综上得：这正是安培环路定理。2.1.2 用函数证明高斯定理 如图2，为空间位置处的点电荷，设为空间任一闭合曲面，为上的定向面元，以外法线方向为正向，通过闭合曲面的电通量则为，故有 （注：若为空间某点处的位矢，为到空间任一点处的距离，则有）由此可得，若空间分布有多种电荷，则电场通过任一闭合曲面的电通量等于面内的总电荷除以，即 图2 电通量图这正是高斯定理，证毕。2.2 函数在电动力学中的应用上章我们简介过了函数的性质，理解了它具有局部无限突变性和整体有限性的基本特点，将电动力学中的点、线、面分布电荷、电偶极子的体电荷密度以及线电流和面电流的电流密度用函数表达出来，使
11、这些抽象的电磁模型可以精确地量化表达。 例：个点电荷构成的体系的电荷密度为： 其中为第个点电荷所处的空间位置矢量。电荷均匀地分布在半径为的球面上的电荷密度： ；半径为总电荷为的带电圆环的电荷密度： ； 为均匀分布在半径为的圆柱上的电荷密度； ，其中为单位长度上的电荷； 电荷均匀地分布有半径为的圆盘面上的电荷密度： ；。 此外，我们还可以运用函数去推证电磁定理。求解达朗伯方程时，可运用函数的性质来验证解的对的性。在电动力学中诸多抽象描述产生的局部无限突变而整体有限的问题，原则上都可采用函数的多种相应函数式和积分式来解决。2.3 函数在两大光学实验中的应用 函数在物理学中的引入，可以把物理学中许多
12、“点”、 “线”概念用一种确切的函数表达出来，如光学中的点光源、线光源，以及物点、像点等。点光源所占有的空间体积是很小的，但不能觉得它的体积为0.如果体积为0，光源就不存在了。由于点光源具有一定的辐射功率，并且占有的空间体积很小，因此在这小范畴内功率密度就会很大。当点光源占有的空间体积趋于0时，功率密度趋于无穷大。这种情形以函数来描述是恰当但是了。2.3.1 函数在杨氏干涉实验中的应用 如图3所示，单位振幅的单色平面波垂直照射开有两个小孔的不透明屏（平面），两小孔的直径很小（故称为针孔），相距为。为拟定起见，取两小孔的坐标分别为 和。观测两小孔产生的杨氏干涉条纹则在平面，在一般的实验布置中它与
13、小孔的距离是。相对于两小孔的宽度而言，这一距离完全可视为小孔衍射的远场。为计算远场平面上的光强分布，可把通过两小孔的光波的复振幅分布以函数表达。在上述坐标下，通过两小孔的光波的复振幅分布为： 它与远场平面上的复振幅分布有一种傅里叶变换关系，即除了一种二次位相因子以外，平面上的复振幅分布就是平面上复振幅分布的傅里叶变换【7】。并且，平面上的光强分布，故式中是傅氏变换的空间频率，是光波波长，是与平面间的距离。又由于 及，因此上式又可写为 式中是点的光强。上式与一般光学书中计算出的杨氏干涉的光强分布完全相似。 图3 杨氏干涉实验装置2.3.2 函数在夫琅和费衍射实验中的应用图4是一种典型的夫琅和费开孔衍射布置图。其中A是开孔，可以是圆孔、矩孔、狭缝或其她形状孔，L是会聚透镜，F是开孔夫琅和费衍射的接受平面，也是透镜L的焦平面。设开孔受单位振幅的单色平面波垂直照射，那么通过开孔的光波的复振幅分布函数就是开孔函数（亦称光瞳函数），而F平面上的光强分布与开孔函数的傅氏变
