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1、专题7.13：解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1. 无论取任何实数，直线必经过一个定点，则这个定点的坐标为_.2. 已知直线；圆，则直线与圆的位置关系为_.3. 已知椭圆，点分别是椭圆的左顶点和左焦点，点是圆上的动点，若为常数，则椭圆的离心率为_.4. 平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y2(62m)x4my5m26m0，直线l经过点 (1，0)若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为_. 2xy20 【探究拓展】探究1：已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且.（1）求椭圆的方程.（2）已知点和圆:,过点
2、的动直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点,满足:,(且).求证:点总在某定直线上.解：方法1：由知,设, 因在抛物线上,故又,则, 由解得,椭圆的两个焦点,点椭圆上,由椭圆定义 ,又, 椭圆的方程为. 方法2：由知,设,因在抛物线上,故又,则, 由解得,. 而点椭圆上,故有即, 又,则由可解得,椭圆的方程为（2）设,由可得:,即 由可得:,即 得: 得:两式相加得又点在圆上，且,所以, 即, 点总在定直线上. 变式1：在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(4,0)、B(4,0)，动点P与A、B两点连线的斜率之积为.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆
3、M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r. 求M的方程； 当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由变式2：已知椭圆E：的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为，直线AF1，AF2分别交椭圆于点B，C（1）求证直线BO平分线段AC；（2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足，试证明点Q恒在一定直线上解：（1）由题意，则，故椭圆方程为，即，其中，直线的斜率为，此时直线的方程为，联立得，解得（舍）和，即，由对称性知直线BO的
4、方程为，线段AC的中点坐标为，AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为，点，则，设，则求得，由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线上【说明】（1）若特殊化处理，令，此时椭圆方程为，设，其它条件不变，可得点Q恒在直线上（2）若一般化处理，对于椭圆，椭圆外的一点P（m，n）（m，n为常数），过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足，则点Q恒在定直线上（极点和极线问题）探究2：平面直角坐标系中，圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直
5、的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.解：(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得： 化简得：求直线的方程为：或，即或(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等。 故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得：点P坐标为或.变式1：在直角坐标系中，点到点，的距离之和为，点的轨迹是，与轴的负
6、半轴交于点，轨迹上有不同的两点和，且（1） 求轨迹的方程；（2） 直线是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2：已知圆，点，直线.（1）求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；ks5u（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.拓展：在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别是，点为椭圆的左顶点，圆的方程为，是否存在不同于点的定点，对于圆上任一点，都有为一常数，若存在，试求所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由. 变式3：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y30和圆：8xF0若直
7、线l被圆截得的弦长为设圆和x轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点当点P变化时，以MN为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论；拓展：已知抛物线与椭圆有公共焦点F，且椭圆过点D.过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由值得注意的是：若题干中出现两条互相垂直的直线，一般用设而不求的思想（当两直线斜率均存在时，可设两直线斜率分别为和，然后进行运算）变式4：如图，椭圆的中心为原点O，离心率e，一条准线的方程为x2.(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设动点P满足：2，其中M，N是
8、椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求出F1，F2的坐标；若不存在，说明理由变式5：已知左焦点为F(1，0)的椭圆过点E(1，)过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标解：依题设c=1，且右焦点(1，0)所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的椭圆的标准方程为 (2)设A(，)，B(，)，则，得 所以，k1= (3)依题设，k1k2设M(,)，直
9、线AB的方程为y1=k1(x1)，即y=k1x+(1k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得 于是， 同理，当k1k20时，直线MN的斜率k=直线MN的方程为，即 ，亦即 此时直线过定点当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点综上，直线MN恒过定点，且坐标为 第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动弦的中点所在直线过定值此结论在抛物线中也成立另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”拓展：如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程
10、；（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由才【分析】（1）在求直线方程时应先判断一下是否有斜率不存在的情况，然后再进行求解；（2）的第小题其实质是求轨迹问题，即以圆C的半径相等作为等量关系来证明结论；（2）的第小题的求解要学会与第小题的相联系起来考虑，以表达出圆的含参方程，从而可以判断出结论.解：（1）设直线的方程为，即因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为 化简，得，解得或所以直线的方程为或 （2） 证明：设圆心，由题意，得，即 化简得，即动圆圆心C在定直线上运动 圆过定点
11、，设，则动圆C的半径为于是动圆C的方程为整理，得由得或所以定点的坐标为，反思：1、第（2）题的第小题的提法与书本要求相一致的，避免了求轨迹方程的嫌疑2、定点问题解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。探究3：已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，且过点P(2，)，设椭圆E的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为.（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上的任意
12、一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上变式1：在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，则圆M的方程为 (x1)2y21变式2：已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为，且圆C：过两点（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，当时，证明：点P在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为Q，在满足条件（2）的情形下证明：+探究4：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，其焦点在圆x2y21上（1）求椭圆的方程；（2
13、） 设A、B、M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使cossin. 求证：直线OA与OB的斜率之积为定值； 求OA2OB2.变式1：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x1)2y216与点A(1,0)，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C. (1) 求曲线C的方程；(2) 曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M、N，连结QM、QN，分别交直线xt(t为常数，且t2)于点E、F，设E、F的纵坐标分别为y1、y2，求y1y2的值(用t表示)变式2：已知椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）（1
14、）求椭圆C的方程； （2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值变式3：如图，已知椭圆过点且离心率为，是长轴的左右两顶点，为椭圆上任意一点（除外），轴于，若（1）试求椭圆的标准方程；（2）当在处时，若，试求过三点的圆的方程；（3）若直线与交于，问是否存在，使得的长为定值，若存在求出的值，若不存在说明理由解：（1）椭圆过点，且离心率为，由，得，即，所求椭圆方程为 （2）(，0)，（，），（，0），在中，即，得， 过，三点圆是以为直径的圆，其方程为，即（3）(，0)，（，0），设（，），（，）则（，0）（0，），（0，），由得（0，）（0，），直线的方程为 直线的方程为 得，又，代入， 方程， 即为直线与直线的交点的
