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1、2020-2021中考数学平行四边形的综合专项训练含答案解析一、平行四边形1（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=3，AD=6，问ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：SABC=BCAD=ABCE从而得2AD=CE， 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC（2）（探究延伸）如图3，已知直线mn，点A、C是直线
2、m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且APB=90，两平行线m、n间的距离为4求证：PAPB=2AB（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，EDAD，CECB，垂足分别为D，C，DAB=B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN求DEM与CEN的周长之和【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5+【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出ABF和BCE的面积相等，过点B作OGAF于G，OHCE于H，从而得出AF=CE，然后证明BOG和BOH全等，从而得出BOG=BOH，即角平分线；(2)、过点P作PGn于G，交m于F，根据平行线
3、的性质得出CPF和DPG全等，延长BP交AC于E，证明CPE和DPB全等，根据等积法得出AB=APPB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AFBC于F，设CF=x，根据RtABF和RtACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和同理：EM+EN=AB详解：证明：（1）如图2， 四边形ABCD是平行四边形，SABF=SABCD，SBCE=SABCD， SABF=SBCE，过点B作OGAF于G，OHCE于H， SABF=AFBG，SBCE=CEBH，AFBG=CEBH，即：AFBG=CE
4、BH， AF=CE， BG=BH，在RtBOG和RtBOH中， RtBOGRtBOH， BOG=BOH，OB平分AOC，（2）如图3，过点P作PGn于G，交m于F， mn， PFAC，CFP=BGP=90， 点P是CD中点，在CPF和DPG中， CPFDPG， PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E， mn， ECP=BDP， CP=DP，在CPE和DPB中， CPEDPB， PE=PB，APB=90， AE=AB， SAPE=SAPB， SAPE=AEPF=AE=AB，SAPB=APPB，AB=APPB， 即：PAPB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G， BAD=B， AG=B
5、G，过点A作AFBC于F，设CF=x（x0）， BF=BC+CF=x+2， 在RtABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2BF2=34（x+2）2， 在RtACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2CF2=26x2，34（x+2）2=26x2， x=1（舍）或x=1， AF=5，连接EG， SABG=BGAF=SAEG+SBEG=AGDE+BGCE=BG（DE+CE），DE+CE=AF=5， 在RtADE中，点M是AE的中点， AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN， AB=AE+BE， 2DM+2CN=AB， DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB DEM与CEN的
6、周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+（DM+CN）+（EM+EN）=（DE+CN）+AB=5+点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系2如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B的位置，AB与CD交于点E.（1）求证：AEDCEB（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PGAE于G，PHBC于H.求PG + PH的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由折叠的性质知，则由得到；（
7、2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.【详解】（1）四边形为矩形， ，又 ， ；（2） ， ， ， ，在中，过点作于， ， ， ， ， 、共线， ，四边形是矩形， ， .【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.3如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C，连接AC并延长交直线DE
8、于点P，F是AC的中点，连接DF（1）求FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出ACC的面积最大值【答案】（1）45；（2）BP+DPAP，证明详见解析；（3）1【解析】【分析】（1）证明CDECDE和ADFCDF，可得FDPADC45；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明BAPDAP（SAS），得BPDP，从而得PAP是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线CG，确定ACC的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C在BD上时，CG最大，其ACC的面积最大，并求此时的面积【详解】（1
9、）由对称得：CDCD，CDECDE，在正方形ABCD中，ADCD，ADC90，ADCD，F是AC的中点，DFAC，ADFCDF，FDPFDC+EDCADC45；（2）结论：BP+DPAP，理由是：如图，作APAP交PD的延长线于P，PAP90，在正方形ABCD中，DABA，BAD90，DAPBAP，由（1）可知：FDP45DFP90APD45，P45，APAP，在BAP和DAP中，BAPDAP（SAS），BPDP，DP+BPPPAP；（3）如图，过C作CGAC于G，则SACCACCG，RtABC中，ABBC，AC，即AC为定值，当CG最大值，ACC的面积最大，连接BD，交AC于O，当C在BD上
10、时，CG最大，此时G与O重合，CDCD，ODAC1，CG1，SACC【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题4已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AECF求证：四边形AECF是菱形【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得ABCD，ABCD，ADFCDF，由“SAS”可证ADFCDF，可得AFCF，由ABECDF，可得AECF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形【详解】证明：四边形ABCD是菱形ABCD，ABCD，ADFCDF，ABCD，ADF
11、CDF，DFDFADFCDF（SAS）AFCF，ABCD，AECFABECDF，AEFCFEAEBCFD，ABECDF，ABCDABECDF（AAS）AECF，且AECF四边形AECF是平行四边形又AFCF，四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.5如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CEAC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BFDF【答案】见解析.【解析】【分析】延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，进而求证AFMEFB，得AM=BE，FB=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，进而求得BD
12、=BM，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BFDF【详解】延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD四边形ABCD是矩形，MDBC，AMF=EBF，E=MAF，又FA=FE，AFMEFB，AM=BE，FB=FM矩形ABCD中，AC=BD，AD=BC，BC+BE=AD+AM，即CE=MDCE=AC，AC=CE= BD =DMFB=FM，BFDF【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB=DM是解题的关键6已知，点是的角平分线上的任意一点，现有一个直角绕点旋转，两直角边，分别与直线，相交于点，点.（1）如图1，若，猜想线段，之间的数量
13、关系，并说明理由.（2）如图2，若点在射线上，且与不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段，之间的数量关系，并加以证明.（3）如图3，若点在射线的反向延长线上，且，请直接写出线段的长度.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）先证四边形为矩形，再证矩形为正方形，由正方形性质可得；（2）过点作于点，于点，证四边形为正方形，再证，可得；（3）根据，可得.【详解】解：（1），四边形为矩形.是的角平分线，矩形为正方形，.（2）如图，过点作于点，于点，平分，四边形为正方形，由（1）得：，在和中，.（3），.，的长度为.【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.7现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB4cm，BC6cm，点E是BC的中点将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B，过E作EF垂直BC，交BC于F（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段BC的长，并求BEC的面积【答案】（1）见解析；（2）S
