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1、 应用马尔可夫链评价教学质量 【摘要】 目的： 讨论教学质量评估中的一种定量分析方法时齐马尔可夫链评估法1，并阐明该评估方法的理论依据及其实施程序。方法：利用学生历年的成绩建立一个马尔可夫链2，运用SAS的IML模块进行统计分析。结果： 指出时齐马尔可夫链评估法较之其他教学质量评估法更显合理，更具有实用性和有效性。结论： 教学质量的时齐马尔可夫链分析着眼于教学过程，注重“历史经历”，从而为更准确地评价教学质量提供了可能。 【关键词】 教学质量 时齐马尔可夫链 评估 转移概率矩阵 建立教学质量评估体系，对于提高教育教学质量有着积极的意义。如何建立科学而有效的教学质量评估方法，充分发挥教与学两方面
2、的积极性、互动性和创造性，是摆在教学研究面前的重要课题。 在对比评估不同班级的教学效果时，往往以每个班学生的期末考试成绩为依据，根据各班考试成绩的变化趋势来判断其优劣。事实上，这样评估方法会带来极大的片面性。因为不同班级（专业）的学生基础存在差异，这让评估的结论偏颇，失去公正性。为了能客观、公正地评价各个班级（专业）的教学效果，必须剔除班级（专业）之间学生的基础差异这一因素的影响。笔者经过比较分析，建议对教学质量的评价使用时齐马尔可夫链（Time Homogeneous Markov Chain）评估法。 马尔可夫链评估法是一种以概率论和随机过程理论为基础，建立随机数学模型分析现实活动变化发展
3、过程中数量关系的一种定量分析方法3。其研究的是一类重要的随机过程，研究对象的状态Xn (n=1,k)是不确定的，其状态空间为I，它有时可取K种状态，有时甚至可取无穷多种状态。在建立随机数学模型时，时间变量被离散化。我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律，而马尔可夫链评估法研究的也是一类状态转移问题。即研究对象的转移矩阵决定了马尔可夫链模型的性质。 若对任意的i，jI，马尔可夫链Xn，nT的转移概率pij(n)与n无关，则称马尔可夫链为时齐的(对时间齐次的)4。故对任意k步转移概率pij(n，k)都与n无关，且均可由一步转移概率决定5。根据教学规律与教学质
4、量评估的需要，时齐马尔可夫链评估法恰到好处地体现其在教学质量评估中的实用性与有效性。 1 原理与方法 数学模型 在教学效果指标的量化过程中，时齐马尔可夫链评估法是将一个总体(如一个年级、一个班甚至一个小组)的个体（学生）在某次考试中获得的成绩划分为若干等级优、良、中、及格和不及格，对应地将考试分数划分为90100分、8089分、7079分、6069分、059分5个等级。然后以各等级学生人数占总人数之比作为状态变量6，总体各自的学生前一学期的考试成绩为初始状态，并用向量(概率分布序列)表示： R(t) = (X1(t) X2(t) X3(t) X4(t) X5(t) 其中t(tN)是时间，显然有
5、5i=1Xi(t)=1 。 我们根据马尔可夫过程的无后效性7，研究当t变化时，状态向量R(t)的变化规律，从而对教学效果进行评估。 设经过第一次考试，一个总体的学生中获得优、良、中、及格和不及格的学生分别为ni (i = 1，2，3，4，5)，则状态向量R(1) =( n1n n2n n3n n4n n5n ) 被称作初始向量8。 为了考察教学效果，继续分析下一次考试中，上述各等级学生的变化情况。若经第二次考试后，原来获得优等成绩的n1名学生中，仍保持优等者为n11人，下降为“良”者有n12人，下降为“中”者有n13人，下降为“及格”者有n14人，下降为“不及格”者为n15人，于是我们得到第一
6、次考试成绩的转移概率为( ni1n ni2n ni3n ni4n ni5n )，这一转移变化情况用矩阵表示为P =( niini )55 =pij。 P称为转移概率矩阵9。容易看出： 5J=1pij=1 (pij0, i=1,2,3,4,5) R(2) = R(1) P 即 R(2)=（5i=1ni1n 5i=1ni2n 5i=1ni3n 5i=1ni4n 5i=1ni5n ） 根据时齐马尔可夫链的性质10，我们有： R(t+n)= RtPn (nN) R(t)的极限为时齐马尔可夫链在平稳状态下的概率分布：linnRt= R 。 这里要说明的是：在平稳状态系统内部各等级学生之间的微观变化依然存
7、在，但各等级的学生的相对比例不再发生变化。特别地，如果矩阵P为分块对角，表示每一等级的学生均可向任一等级变动，则根据马尔可夫链的无后效性(要预测“将来”的状态，只需清楚“现在”已知的状态，而“过去”的状态不起任何作用)，体系的极限状态与体系的初始状态关系甚微，即与R(1)无关，而一切由转移概率矩阵P决定11。所以，马尔可夫过程转移概率矩阵P在教学评估中的意义是至关紧要的。学生考试成绩的变化反映了学生内在心理状态、外部社会影响、教师授课方式等综合的变化。因此，转移概率矩阵P是教学质量、教学条件、学生内在心理状态、外部社会影响等因素的集中反映。由马尔可夫过程的极限状态可知：当这些影响学生考试成绩的
8、因素稳定时，学生在这种设定情况下的总体上可能达到的程度，而这一可能达到的程度与学生原有的基础无关。于是，在理论研究上我们可运用马尔可夫过程的极限分布作为教学效果的量化指标，从而也解决了因学生基础存在差异而无法以学生的成绩去评估教学质量的难题。 计算步骤 为了方便研究问题，我们不妨将求教学系统状态转移概率矩阵P的极限向量的步骤归纳如下： 分层抽样，在我校（广东药学院）的二级学院（公共卫生学院）抽出预防医学方向M、N两个班。为方便说明问题，摘录“M班0203上学期与0203下学期考试成绩转移情况表”(原始资料来源于广东药学院教务处)，如表1所示，列出各班级的学生考试成绩等级转移情况表，其中第6列表
9、明该生在两次考试中成绩转移情况，如：ij意为该生由i等转移到j等。（这里计算学生在两次考试中成绩转移情况，求相同的ij在表中出现的频数，运用了SAS软件的Print过程与频数表。）表1 M班0203上学期与0203下学期考试成绩转移情况表（略） 计算转移概率矩阵P，矩阵P中元素pij由下式确定：pij=nij5j=1nij i,j=1,2,3,4,5 求出转移概率矩阵P的极限向量。 由马尔可夫链的遍历性定理知：对于不可分、非周期的马尔可夫链的n步转移概率矩阵p(n)ij，由无后效性有: linnp(n)ij=xj 这里，xj与i无关。此时，x0 , X = xj = ( x1 ,x2 ,x3
10、,x4 ,x5) 0为状态R（t）平稳分布，且满足X=XP，即XIpij = 0 (I为单位方阵)， 或Ipij x1x2x3x4x5=00000 故转移概率矩阵P的极限向量X是其转置矩阵PT=pji的特征值为1的特征向量。 考虑到PT的特征方程的线性相关性，我们可删去方程组中的任一方程，而用约束条件5i=1xi=1替代。 解出向量X = (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5)，即为P的极限向量12。根据最大项原则，可取max x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5所在等级表示工作质量等级，通过S = 80x1 + 70x2 + 60 x3 + 50x4 + 40x5算出教学质量评估综合得分进
11、行量化比较评价。 特别的，当转移概率矩阵P为分块对角矩阵时，特征方程Ipji X= 0无唯一解。此时，可通过增加约束条件，使方程组的解具有唯一性13。比如，若pji形如 p11p12p1300 p21p22p2300 p31p32p3300 000p44p45 000p54p55 则有x4 + x5 = x4(1) +x5 (1)，其中x4(1)、x5 (1)分别为初始向量R(1)中的两分量。 实例分析 广东药学院公共卫生学院预防医学方向M、N两个班自02年入学始到07年毕业所学科目基本相同，且由不全同的教师担任其课程。倘若在一次考试中，M班的平均成绩都高于N班。能否认为M班的教学效果比N班的
12、教学效果优秀呢? 其实不然，因为M、N两个班入学时，各班学生的基础存在一定的差异。为了能将学生的基础差异这一因素排除，我们采用时齐马尔可夫链评估法。 分析M、N两个班第1学期到第9学期共9次期末考试的平均成绩及每相连两次考试的所属等级转移情况。计算相同的ij在表中出现的频数，求得相应的转移概率矩阵，算出P(n)M、PT(n)M、P(n)N、PT(n)N（此处运用统计软件SAS的IML模块）。 求PT(n)M的特征值为1的特征向量： 解方程 I -PT(n)M XTM= 0 解之 XM=（ 0 0） 求PT(n)N的特征值为1的特征向量： 解方程 I-PT(n)N = 0 解之 XN =（0 0） 根据最大项原则，我们的结论是：N班的教学效果良好1 / 1
