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1、第十二讲 幂函数教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.幂函数的概念数学抽象水平1水平11.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函数。2.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小比较。3.通过作出一些简单幂函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函数的基本性质。【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。【考查题型】选择题、填空题、解答题【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分2.幂函数的图像与性质直观想象水平1水平23.幂指数对图像的影响数学运算水平1水平14.幂函数的凸凹性数学运算水平1水平1知识通关知识点1幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数知识点2幂函数的
2、图象和性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数yxyx2yx3yx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)，增x(，0，减增增x(0，)，减x(，0)，减公共点都经过点(1,1)题型一幂函数的概念规律方法判断函数为幂函数的方法(1)只有形如yx(其中为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：指数为常数，底数为自变量，底数系数为1.形如y(3x)，y2x，yx5形式的函数都不是幂函数反过来，若一
3、个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式例1、(1)在函数yx2，y2x2，y(x1)2，y3x中，幂函数的个数为()A0B1C2 D3(2)若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则m_.解析：(1)根据幂函数定义可知，只有yx2是幂函数，所以选B(2)因为f(x)是幂函数，所以m24m41，即m24m50，解得m5或m1.答案(1)B(2)5或1【变式训练1】（1）幂函数的图像过点，则A. 8 B. 6 C. 4 D. 2（2）设，则使函数的定义域为R且函数为奇函数的所有的值为（ ） A . B. C. 1,3 D. 解析： （1）设幂函数，由函数的图像过点，可得，则幂函数，故选C （2）
4、是常见的5个幂函数，显然当为奇函数时， 的值为，又函数的定义域为R， ， 故的值为1,3。故选C。答案 （1）C （2）C题型二幂函数的图象及应用(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：幂函数图像在定义域(0,1)上的部分，指数越大，幂函数图象越靠近x轴 (简记为指大图低)；幂函数图像在定义域(1，)上的部分，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)(2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或或yx3)来判断（当时，在第一象限内为双曲线型；当时，在第一象限内为抛物线型，且开口向右；当时，在第一象限内为抛物线型，且开口向上）规律方法 解
5、决幂函数图象问题应把握的两个原则例2、(1)如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(x)0时，n越大，yxn递增速度越快，故C1的n2，C2的n；当ng(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x(0,1)时，f(x)g(x)答案 B【变式训练2】如图是函数 (m，nN*，m，n互质)的图象，则()Am，n是奇数，且1Cm是偶数，n是奇数，且1解析：由图象可知yx
6、是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x(1，)时，的图象在yx的图象下方，故1.答案C题型三利用幂函数的性质比较大小规律方法比较幂值大小的三种基本方法例3、比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)与解析：(1)因为幂函数yx0.3在(0，)上是单调递增的，又，所以.(2)因为幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又，所以.【探究1】(变换条件)若将例1(1)中的两数换为，则二者的大小关系如何？解析：因为，而yx0.3在(0，)上是单调递增的，又，所以.即.【探究2】(变换条件)若将例1(1)中的两数换为，则二者的大小关系如何？解析：因为在(0，)为上减函数，又0.3，所
7、以，又因为函数在(0，)上为增函数，且，所以， 所以.【变式训练3】比较下列各组数的大小：(1)；(2)；(3).解析：(1)幂函数在上为减函数，又(2)在上为增函数， ，(3)，思维拓展考向一 幂函数的凸凹性（1）上凸函数、下凸函数的定义设函数在上有定义，若对于中任意不同两点，都成立，则称在上是上凸的函数，即上凸函数。设函数在上有定义，若对于中任意不同两点，都成立，则称在上是下凸的函数，即下凸函数。（2）幂函数的凸性幂函数，在时，函数是下凸函数；幂函数，在时，函数是上凸函数；幂函数，在时，函数在第一象限是下凸函数。例4、如果一个函数在其定义域内对任意都满足，那么则称这个函数为下凸函数。下列函
8、数：；其中是下凸函数的有（ ）。A. B. C. D. 解析： 本题既可用定义来判断，也可用函数图像直接求解，得满足题意。答案 D【变式训练4】 在这三个函数中，当时，使恒成立的函数有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个解析： 当时，恒成立，在区间上的函数图像是“上凸”的，在区间上的函数图像是“下凸”的，而在区间上的函数图像是“上凸”的。因此，只有函数符合题意。答案 C 考向二 常见函数图像与性质方向一 对勾函数与双刀函数图像与性质规律方法 (1)、对勾函数的图像与性质： 1.定义域：；2.值域：；3.奇偶性：奇函数；4.单调性：增区间为； 减区间为；5.渐近线方程：对勾函数
9、的图像与性质：（与图像关于轴对称）1.定义域：；2.值域：；3.奇偶性：奇函数；4.单调性：增区间为；5.渐近线方程： （2）双刀函数的图像与性质： 1.定义域：；2.值域：R；3.奇偶性：奇函数；4.单调性：增区间为， 无减区间；5.渐近线方程：双刀函数的图像与性质：（与关于轴对称） 1.定义域：；2.值域：R；3.奇偶性：奇函数；4.单调性：减区间为， 无增区间；5.渐近线方程：方向二 符号函数图像与性质规律方法1.定义域：R；2.值域：；3.奇偶性：奇函数；4.对称性：中心对称点方向三 反比例型函数图像与性质规律方法若，则函数图像由一、三象限的双曲线平移过去： 1.定义域：；2.值域：；
10、3.单调性：减区间为， 无增区间；4.对称性：中心对称点;5.渐近线方程：若，则函数图像由二、四象限的双曲线平移过去： 1.定义域：；2.值域：；3.单调性：增区间为， 无减区间；4.对称性：中心对称点；5.渐近线方程：方向四 向下取整函数（表示不大于的最大整数）图像与性质：规律方法其图像如图所示：1.定义域：R；2.值域：Z；3.奇偶性：奇函数；4.对称性：中心对称点；5.周期性：类周期长度为1 点评：以上几种函数是高一新同学在在学必修一的函数章节时较常遇到的一些函数，由于在课本中不经常出现，很多同学感觉比较陌生，学起来比较吃力，所以同学们必须要经常结合一些经典例题勤加练习。综合训练A组 基
11、础演练 1下列函数是幂函数的是()yx3yx0y2x2y3xyx21A BC D解析：根据幂函数的形式特征可知，只有是幂函数，中幂的系数不为1，中幂的底数不是自变量x，指数不是常数，中含有常数项，故都不是幂函数答案 A2若幂函数f(x)xm1在(0，)上是减函数，则()Am1 B不能确定Cm1 Dm1解析：m10m1，故选D.答案 D3函数f(x)的奇偶性为()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析：函数f(x)的定义域(，0)(0，)关于原点对称，且f(x)，所以此函数为奇函数答案 A4如图，表示具有奇偶性的函数图像可能是()解析：根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称可知，选项B中的函数为偶函数选项C中的点(0,1)关于原点的对称点(0，
