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1、 矩阵的特性值与特性向量 摘 要 本文简介了矩阵的特性值与特性向量的某些基本性质及定理，通过度析基本性质和定理来得出它们的基本求解措施，并延伸到某些特殊求解法。接下来还简介了一类特殊矩阵实对称矩阵的特性值与特性向量，这让读者对矩阵的特性值与特性向量有更进一步的理解。最后给出了矩阵的特性值与特性向量在实际中的应用例子。这让我们明白研究它们不仅仅由于它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。通过阅读这篇文章，可以使读者在后来的学习中对矩阵的求解更容易掌握。核心词： 矩阵、特性值、特性向量、正交、线性有关、线性无关、特性多项式 Matrix eigenv
2、alue and eigenvector Zhong Yueyuan (Science and information science department level of mathematics and applied mathematics at Shaoyang University in Hunan.)Abstract This paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristic, through the analy
3、sis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extends to some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix - the real symmetric matrix value and the characteristic vector, the reader of matrices have further understanding
4、 and feature vector. Finally gives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actual example.Let us understand this study them not only because they are the academic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practical problems, to make our society develop quickly.
5、By reading this article, readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.Key word : Matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial 目 录中文摘要.Abstract.引言.11 矩阵的特性值与特性向量.11.1 矩阵的特性值与特性向量的定义及基本理论.11.2 求解矩阵的特性值与特性向量措施
6、.42 实对称矩阵的特性值与特性向量.72.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化.72.2 求实对称矩阵的特性值与特性向量.93 矩阵的特性值与特性向量的举例应用.103.1 用特性值理论求解Fibonacci数列通项.113.2 在研究经济发展与环境污染中的应用.124 结论.15参照文献.16道谢.17引言 矩阵是高等代数课程的一种基本概念，是研究高等代数的基本工具。线性空间、线性变换等,都是以矩阵作为手段；由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求解矩阵的特性值和特性向量，是高等数学中常常遇到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特性多项式，然后求得特性值，再通过解线性方程组得到相应的特性向量。特
7、性多项式和特性根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际中也有广泛的应用。1 矩阵的特性值与特性向量1.1 矩阵的特性值与特性向量的定义及基本理论定义1 设一种阶方阵，是一种数，如果方程 (1.1) 存在非零解向量，则称为的一种特性值，相应的非零解向量称为属于特性值的特性向量。 (1) 式也可写成， (1.2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充足必要条件是系数行列式 (1.3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方多项式阵的特性方程。其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特性。 =|AE|= 显然，的特性值就是特性方程的解。特性方程在复数范畴内恒有解，其个数为方程
8、的次数（重根按重数计算）。因此，阶矩阵有个特性值。设阶矩阵的特性值为由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 （）（）.若为的一种特性值，则一定是方程的根, 因此又称特性根，若为方程的重根，则称为的重特性根。方程的每一种非零解向量都是相应于的特性向量，于是我们可以得到求矩阵的所有特性值和特性向量的措施如下： 第一步：计算的特性多项式； 第二步：求出特性方程的所有根，即为的所有特性值； 第三步：对于的每一种特性值，求出齐次线性方程组： 的一种基本解系则的属于特性值的所有特性 向量是 。 定义2 设是数域上线性空间的一种线性变换。如果相应中的一种数，存在中的非零向量，使得 (1.4)那么就叫做的一种
9、特性值，而叫做的属于特性根的一种特性向量。显然，如果是的属于特性值的一种特性向量，那么对于任意,均有 (1.5) 这样，如果是的一种特性向量，那么由所生成的一维子空间在之下不变；反过来，如果的一种一维子空间在之下不变，那么中每一种非零向量都是的属于同一特性值的特性向量。其中（1）式的几何意义是：特性向量与它在下的象保持在同始终线L（）上，时方向相似，时方向相反，时，例1 在V3中，是有关过原点的平面H的反 射，它是一种线性变换。那么H中的每个非零 向量都是的属于特性值1的特性向量，V就是平面H。与H垂直的非零向量都是的属于特性值 -1的特性向量，即V-1就是直 线L（见图1）。 图1定理1 属于不同特性值的特性向量一定线性无关。 证明 设是矩阵的不同特性值，而分别是属于 的特性向量，要证是线性无关的。我们对特性值的个数m 作数学归纳法证明。 当时,由于特性向量不为零,因此结论显然成立。 当时,假设时结论成立。 由于是的不同特性值,而是属于的特性向量,因此 如果存在一组实数，使 (1.6) 则上式两边乘以得 (1.7) 另一方面, ,即 (1.8)(4)(5)有 。 由归纳假设,线性无关,因此 (1.9) 而互不相似，因此。于是（1.9）变为 因,于是。可见线性无关。1.2 求解矩阵的特性值与特性向量的措施 在求矩阵的
