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1、第二章 导数与微分及其应用一导数瞬时变化率案例1低频跨导 具有 PN 节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之比称为低频跨导一种PN节的半导体器件，其转移特性曲线方程为1二5U 2 ,求电压U =_2 V时的低频跨 导解：低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在V = 一2伏时的变化率为AVI = lim 竺=lim5(-2 + AV)2 - 5(-2)2 = 10 AVtO AV AVtO案例2 人口增长率全球2000年报告指出世界人口在1975年为41亿，并以每年2%的相对比率dP dP、dPI增长若用P表示自1975年以来的人口数，求dt, dt t=0 , dt
2、 t5，它们的实际意义分别是什么？dPdPP(t+At) - P(t)liQ解： dt 表示世界人口总量关于时间的变化率，即 dt AtAt在t，t + At时间内，世界人口的增长可视为是匀速增长的，由于相对比率为2 %，速度为2%P(t)，即dPP(t + At) -P(t) - 2%P(t)At，故有=2% P(t)，由于世界人口每年都以2%的相对比率增长，所以dP_dP|_dP dt dt -0 dt t=15 =2% P (t)，案例3 铜矿开采费从一个铜矿中开采T吨铜矿的花费为C = f (T)元广(2000) = 100意味着什么？解：对于.f (2000) - d|- 100dT
3、 T - 2000dC因C的单位为元，T的单位为t所以dT的单位为元/t,广(2000) - 100表明当有2000t铜矿从矿中被开采出来时，再开采1t铜矿需花费100元.二、导数的运算案例1 电流电路中某点处的电流1是通过该点处的电量q关于时间t的瞬时变化率，如果某一电路中的电 量为q(t)= t3 + T 求电流函数i(t)；t = 3时的电流是多少？(3) 什么时候电流为49i(t) = dq 解：() dt = ( 13 +t) =(t3) + (t)= 3t2 +1 ； i(3)二(312 + 1)lt=3 = 3x32 +1 = 28；(3)解方程i(t) = 3t2 +1 = 4
4、9，得t二4(舍去负值)，即当t二4时，电流为49案例2速度已知某物体做直线运动，运动方程为s = (t2 + 1)(t +1), s (单位:m),(单位：s) 求在t二3 s时物体的速度？ds解:v _物体运动的速度为dt(t2 + 1)(t+1)_(t2+1) (t+1)+(t2+1)(t+1)_ 2t(t+1)+(t2 +1)x1 _3t2+2t +1，t _ 3v _ 2 + 2t +1)1t _ 3 s 时的速度为 t_311_3 =34(m/s)案例3 电压的变化率一个电阻为3 ，可变电阻为R的电路中的电压由下式给出:6 R + 25 R + 3 求在R = 7 时电压关于可变电
5、阻R的变化率.解:电压V关于可变电阻R的变化率为6 R + 256( R + 3) 一(6 R + 25)7V = ()_=R + 3(R + 3)2(R + 3)2在R = 7 时电压关于可变电阻R的变化率为7V，=-0.07R=7102r , r 1 1 1案例4并联电阻当电流通过两个并联电阻1 2时，总电阻由下式给出： =+Rrr12rr求 R 对 r1 的变化率假定 r 2 是常量111=+Rrr12rrR = 1-2r + r12r由因为 2 是常数，所以dRdr1d(dr1rr2r + r12_(r + r )-rrC 1C1 c2 1212(r + r )212r2c2(r +
6、r )212案例5 制冷效果某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果,th 后冰箱的温度为-20.05t +1(单位:0C ） 问冰箱温度丁关于时间t的变化率是多少解：冰箱温度T关于时间t的变化率为务=(q - 20) = (0)- (20) 0 案例 1 增长率 若某国的国民生产总值的增长率 dtdP o加函数，即该国的国民生产总值越来越大；反之，若某国的国民生产总值的增长率力，则该国的国民生产总值越来越小案例2 石油蕴藏假设P为在第t年时地球的石油总蕴藏量（包括未被发现的），假设没有新的石油产dP生，并且P以桶为单位计量，dt的单位是什么？它有何意义？它的符号为正还是负?解: 由于没有新的
7、石油产生，而地球的石油是不可再生资源，随着对石油的消耗，其总量会越来越少因此地球的石油总蕴藏量Kt）是一单调减少函数,dP 0 ）为dP _di 二1.15x (1.014)t= 1.15 x (1.014丫=1.15x (1.014)t xln1.014 0，因此中国人口总数在 19931995 年期间是增长的.案例4血液的压强血液从心脏流出，经主动脉后流到毛细血管，再通过静脉流回心脏医生厂 25t 2 +123P =建立了某病人在心脏收缩的一个周期内血压P （单位：mmHg）的数学模型12 + 1 ，二0表示血液从心脏流出的时间（t的单位：秒）问在心脏收缩的一个周期里，血压是单调增加的还是
8、单调减少的解：P =( 2仝2 + )=(25t 2 +123) + 1)-(25t 2 + 123)(t2 + 12 + 1(t 2 + 1)250( 12 +1)-2( 25t 2 +123)(t 2 + 1)2196t(t 2 + 1)2=_ 196t因为t 0，所以P(t2 +1)2因此在心脏收缩的一个周期里，血压是单调减少的. （二）函数的极值与最值案例 1 容器的设计 要设计一个容积为 500ml 的圆柱形容器，其底面半径与高之比为多少时容器所耗材 料最少？解：设其底面半径为r，高为h，其表面积为S 2兀rh+2兀丫2,容积为V = 500 =兀 r2h500 h =即兀r2，代入
9、S二2兀rh + 2兀r2，得表面积1000求导500 i/500、丄7,2000 1h 2r = ()3h = ()3故当底面半径与高之比为 1：2 时，所用材料最少案例2 发动机的效率 一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的效率 p （%）与汽车的速度v （单位：公里/小时）之间的关系为p = 0.768v-0.00004v3问发动机的最大效率是多少？解:求发动机的最大效率P最大即求函数P = 0.768v - 0.00004v3的最大值.先求导dv 768v - 000004皿0768 -0-00012v 2令 dv,得 V 二 80 （单位：km/h） 由实际问题知，此时发动机的效率最大，最大效率为（80）u 41 （% ）案例3 最大容积设有一个长8分米和宽5分米的矩形铁片，在四个角上切去大小相同的小正方形， 如图 2.3.4 所示，问切去的小正方形的边长为多少分米时，才能使剩下的铁片折成开口盒子的容积为最大？并求开口盒子容积的最大值.解：设切去的小正方形的边长为x分米，则盒子的容积为V 二（8 - 2x）（5 - 2x）x（0
