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1、第三章 地震波动方程目前，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。这章波及矢量运算和复数，附录2对某些数学问题进行了复习。3.1 运动方程（Equation of Motion）前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化状况下的应力、应变和位移场。然而，由于地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律（）用于持续介质。3.1.1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。如图1-3所示，考虑一薄棒向x轴延伸，其位移量为u：Fig3-1则其作用力为“应力”X“其所在的质点面积”，因此其两边的作用力
2、差为惯量inertia为因此得出. （3-1）其中为密度density，为应力stress=。3-1式表达，物体因介质中的应力梯度stress gradient而得到加速度。如果与E为常数，则3-1式可写为 （3-2）其中运用分离变量法求解（3-2）式，设u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为设则可得：考虑欧拉公式： （3-3）其中A,B,C,D为根据初始条件和边界条件拟定的常数。考虑到可正可负，方程式的解具有的形式，其中f及g为波的函数，以c的波行速度向+x与-x方向传递。我们可以采用如下程序模拟地震波的传播。平面波在均匀介质里沿方向传播，剪切波的齐次微分方程可体现为：这里是位移。对10
3、0公里的波长和假定的状况，我们写出用有限差分法解这方程的计算机程序。用长度间距，时间间距秒。假定在（50公里）震源时间函数的形式为： 05秒用（0公里）的应力自由边界条件和（100公里）的固定边界条件。用有限差分图解来近似二次导数：以4秒的间隔画出1-33秒的图。M = moviein(101);dx=1;dt=0.1;tlen=3;beta=4; %初始化变量,tlen为震源持续时间，beta为波传播的速度u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;%u1为前一种时刻的各点的位移，u2为目前时刻的位移，u3为下一种时刻的位移值，开始均假定为零t=0;jj=0;while (t=3
4、3) %模拟的最长时间为33秒 for ii=2:100 rhs=beta2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1)/dx2; %方程的解 u3(ii)=dt2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii); %对时间求导数 end %左边为自由边界条件，右边为固定边界条件 u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件 u3(101)=0.0; %右边为固定边界条件 %左右两边为自由边界条件% u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件% u3(101)=u3(100); %右边为自由边界条件 %左右两边为固定边界条件% u3(1)=0.0; %左边为固定边界条件% u3(10
5、1)=0.0; %右边为固定边界条件 if(t=tlen) u3(51)=(sin(pi*t/tlen).2; %地震震源时间函数 end for ii=1:101 u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii); %时刻的更新 end plot(u2); %绘制目前的波形图 ylim(-1.2 1.2); M(:,jj+1) = getframe; %获得目前的图像 t=t+dt; %时间延长endmovie(M) %演示波形传播3.1.2三维空间之振动方程式推导三维空间之振动方程式的过程，与上节中所采用的一维空间讨论方式类似，如图3-2所示，先探讨在x方向之位移量u：Fig3-2在
6、y-z面上的作用力差为：在x-z面上的作用力差为：在x-y面上的作用力差为：惯量为：得出. 3-4其中xx、yx及zx分別为stress tensor在xxx面方向、x力方向，yxy面方向、x力方向及zxz面方向、x力方向方向的分量。注意，在本讲义中有关stress tensor的两个下标indexes之定义，依序为面的方向与力的方向。将xx、yx及zx与其相应的应变之关系代入3-4式可推导得出三维空间之振动方程式如下：. 3-5a其中及为常数，而为Laplacian operator，代表。以相似的措施，可以得出在y及z方向的振动方程式，若其位移量分別为v与w，则其相相应之振动方程式可分別表
7、达如下：. 3-5b. 3-5c若以向量形式来统一表达3-5a、b、c式，可改写如下：. 3-6其中为位移向量，在x、y与z方向的位移分量分別为u、v与w。其中为体力，只有在研究震源时，才考虑该体力。这是构成许多地震学理论基本的基本方程，称之为持续介质方程或运动方程。体力一般涉及重力项和震源项。在正常模型地震学中，重力项是频率很低时的一种重要因子，但对所观测到的典型波长范畴，即在体波和面波的计算中，一般可被忽视。在这本书背面我们将考虑震源项。在没有体力的状况下，有齐次运动方程： （3-7）在场论中考虑到： （3.8）将其变为更常用的形式，即： （3.8）将这个式子代入（3.12）得到：上式决定
8、了在震源区以外，地震波的传播。解真实地球模型的上述方程是地震学的重要部分，这样的解给出了离震源某一距离的特定地点预期的地面运动，一般称为合成地震图。3.1.3体波纵波与橫波之振动方程式一方面，我们考虑由介质伸缩所衍生的质点体积应变之振动方程式。从上节所描述的单一方向x、y、z上之位移量u、v、w所导出的振动方程式，可以进一步地推求体积应变所引起的振动方程式，由的基本定义可以很自然的联想到分別将3-4a、3-4b以及3-4c三式分別对x、y与z微分之后再相加，忽视体力，即可得到下式： 3-7此外，考虑剪切应变也许产生的振动方程式。若将3-5c式对y微分、3-5b式对z微分，然后相減，忽视体力可得
9、到下式：. 3-7其中括弧內的项就是质点运动绕x轴的扭转角度。yFig3-3参照图3-3，一种质点Py、z向逆时针方向扭转到Py、z，扭转角度为x，若其扭转半径为r，根据几何关系可得到：，其位移形变为将其分別对y及z微分且相加，得出同理得到和，因此质点扭转的运动方程式可写为： 3-83-6式与3-8式可用通式描述如下：. 3-9其为典型之波动方程式。根据对3-8式而言，可得出. 3-10对3-6式而言，可得出. 3-113-10可视为纵波亦称为P波，因其质点运动方向与波的传播方向相似如图3-4。 质点运动方向 波传方向Fig3-41-24视为橫波亦称为S波，因为扭转应变，其质点的转动方向与波的
10、传播方向成正交。S波依其质点振动方向的不同可分为SV及SH，如图3-5所示。 波传方向Fig3-5综合以上所得，在完全弹性介质中，当其受外力作用时，产生两种波相：纵波与橫波。由前节所述之各弹性系数的关系，我们可将3-10式以及3-11式写为： ； 其她弹性系数与速度的关系如下：. 3-12 3-13 3-14 3-15其中3-13式可化为. 3-16在地函內部，大部分的泊松比接近于1/4。若=1/4，则 ， 并且若=1/2，即介质为纯液体，则、及皆为零地震所产生之弹性波，穿过地球內部，藉由弹性波传播所产生的速度变化，参照弹性理论以及弹性系数关系，我们可以摸索地球內部的情況。 3.1.4 地震波
11、的势位移往往可以根据P波的标量势和S波的矢量： （3.25）那么有： （3.26）将其代入，得到： （3.27）将（3.27）代入可得： （3.29）P波的解由的标量波动方程给出，S波的解由的矢量波动方程给出。3.3 平面波 式（3.28）和（3.29）具有相似的形式，它们在直角坐标系可以表达为：我们用分离变量法来寻找形式的解。每个因子是仅仅一种变量的函数。由上式可得：这意味着是常数，令其为可得：同理，对于某常数,有应注意，因此解可由三个量，而不是四个量来表达。类似于一维形式的推导。该方程可以有如下形式的通解：其中，令下面我们看看的物理意义。令当t=t1时，当t=t2时，由平面解析几何知识可知
12、第一式为离原点距离为的平面，第二式为离原点距离为的平面，并且两平面的法线方向都为。因此两平面之间的距离为，为波从t1时刻传播到t2时刻所传播的距离，传播的速度恰为c，这也是为什么我们在波动方程中将其称之为速度的因素。类似地，表达以速度c向-n方向传播的平面波。任意函数都可以写成简谐平面波叠加的形式根据Fourier叠加原理，可以把屋里上实际存在的平面波动，以数学形式分解成抽象的、覆盖整个频率范畴的平面波的积分来表达：实际问题不考虑。因此一般取为方程的基本解。而为波传播的方向，由于c为波的传播速度，一般称为慢度矢量。对不同的做Fourier叠加即可得到任意函数形式的平面波。引进平面波的概念很有协助。平面波是一种位移只在波的传播方向上变化，在与波传播方向互相垂直的方向上，位移为常数的波动方程的解。例如，沿轴传播的波，位移可体现为： （3.30） 这里是波的速度，是任意函数（矢量函数需体现出波的偏振），这波沿方向传播。位移不随变化。在方向上，波无限扩展。如果是离散的脉冲，那么假定有以平面波阵面传播的位移
