《新版浙江版高考数学一轮复习(讲练测)： 专题6.3 等比数列及其前n项和讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版浙江版高考数学一轮复习(讲练测)： 专题6.3 等比数列及其前n项和讲（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 1第03节 等比数列及其前n项和【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测等比数列的概念与运算1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；2.了解等比数列与指数函数的关系.20xx浙江文19；理18；20xx浙江理19；20xx浙江文10,17；理3；20xx浙江文17.1.高频考向:利用方程思想应用等比数列通项公式、前n项和公式求基本量；2.低频考向:等比数列的性质及应用. 3.特别关注:（1）与等差数列的综合问题；（2）根据已知递推式构造等比数列求解相关问题.等比数列前n项和及应用1.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用；2.会用数列的等比关系解决实际问题.20xx浙江
2、文17.【知识清单】一等比数列的有关概念1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：.说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.3等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，
3、（错位相减法）.说明：（1）（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.5. 等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新
4、数列对点练习：【20xx 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】已知数列的前项和为，对任意正整数， ，则下列关于的论断中正确的是（ ）A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列C. 可能是等差数列，但不会是等比数列 D. 可能是等比数列，但不会是等差数列【答案】C【解析】an+1=3Sn，Sn+1Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，若S1=0，则数列an为等差数列；若S10，则数列Sn为首项为S1，公比为4的等比数列，Sn=S14n1，此时an=SnSn1=3S14n2(n2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列。综上，数列an可能为等差数列，但不会为等比数列。本题选择C选项.二 等比数列的相关性
5、质1.等比数列的性质：（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，；，；（3）在等比数列中，对任意，；（4）在等比数列中，若，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：.（5）若数列是等比数列，且公比不为1，是其前项的和，那么，成等比数列.如下图所示：.（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、仍为等比数列（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，成等比数列，且公比为.3.等比数列的单调性当或时，为递增数列，当或时，为递减
6、数列4. 等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义常数常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,) 为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数, ) 为等差数列；(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法： () 为等比数列(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)为等比数列(4) 为等差数列(总有意义)为等比数列性质(1)若，且，则(2) (3) ，仍成等差数列(1)若，且，则(2) (3)等比数列依次每项和()，即 ，仍成等比数列前n项和时，；当时，或.对点练习：1.【20xx天津理5】设是首项为正数
7、的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）.A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C2.【浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知等差数列，等比数列的公比为，设， 的前项和分别为，若，则_【答案】【解析】， ，因为，所以，这是关于的恒等式，所以，解得【考点深度剖析】等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性【重点难点突破】考点1 等比数列的定义
8、，通项公式，前项和的基本运算【1-1】【20xx全国卷3理】设等比数列满足， ，则 _【答案】【1-2】【20xx全国卷2理】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.A1盏 B3盏 C5盏 D9盏【答案】B【解析】设顶层灯数为，解得故选B.【1-3】【辽宁省凌源二中高三三校联考理】已知数列为等比数列，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由等比数列的性质可得： ，结合可得： ，结合等比数列的性质可得： ，即： .本题
9、选择B选项. 【领悟技法】1. 等比数列的判定方法(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；(2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；(3)通项公式法 (均是不为0的常数，)是等比数列2. 求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解即等比数列的通项公式及前项和公式或，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设
10、而不求，整体代入”来简化运算(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论3. 特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.4. 等比数列的前项和公式若已知首项和末项，则，或等比数列an的首项是，公比是，则其前项和公式为.5. 若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可【触类旁通】【变式一】【湖北省武汉市部分学校新高三起点考试】已知等比数列中， ， ， 成等差数列，设为数列的前项和，则等于（ ）A. B. 3或 C. 3 D. 【答案
11、】B【变式二】【20xx北京卷理】若等差数列和等比数列满足，则_.【答案】1【解析】由，则，由，则，则.故.考点2 等比数列的性质【2-1】【河南省中原名校高三第三次质评】设为等比数列的前项和且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据等比数列的前项和公式知 （），又，所以， ，故选D. 【2-2】【四川省双流中学高三9月月考】各项为正数的等比数列中， 与的等比中项为,则_【答案】 【解析】由题设，又因为，所以，应填答案. 【2-3】【20xx山东卷理】已知是各项均为正数的等比数列，且，,（1）求数列的通项公式；（2）如图所示，在平面直角坐标系中，依次连接点，得到折线，求由该折线
12、与直线，所围成的区域的面积.【答案】（1）（2）（2）过向轴作垂线，垂足分别为，由（1）得记梯形的面积为.由题意，所以 又 得 所以【领悟技法】1. 等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题2.等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系3.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式4. 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于
13、数列的性质有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究【触类旁通】【变式一】【江苏省泰州中学高三上开学】设正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的值为_【答案】6【变式二】【重庆市第一中学高三下第二次月考】已知曲线的方程为，过平面上一点作的两条切线，切点分别为,且满足,记的轨迹为，过一点作的两条切线，切点分别为 满足,记的轨迹为，按上述规律一直进行下去，记且为数列的前项和，则满足的最小的是_。【答案】7考点3 等差数列与等比数列的综合应用【3-1】【浙江省温州市高三9月一模】已知数列是公差不为0的等差数列，数列的前项，前项，前项的和分别为，则（ ）A
