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1、巧用旋转解题温州市实验中学 周利明传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角 形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋 转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。 1利用旋转求角度的大小例1：在等腰直角中，Z90。, P是内一点,满足詔、2、1 求Z的度数.分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线 段的ZMi.长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此 要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助 旋转来分析问题，因为，这就给我们利用旋转创造了条件，因此可以考虑将AAPC绕点C逆时针旋转900， 得ABPC,连接PP，通过三角形的边与角
2、的关系分别求得/CPP，和 ZPPB，就可得到ZBPC的大小。解：由已知，将AAPC绕点C逆时针旋转9Oo，得ABPC，连接PP ；由旋转可知：ZPCB = ZACP， CP 二 CP， AP = BP；I ZP CB + ZPCB = ZACB = 9Oo，: AP CP是等腰直角三角形，ZCPP = ZCPP = 45o且pp =，在 APPB 中，T PB2 + pp2 二 22 + (p2) 2 二 6 二(76)2 二 AP2 二 BPS，: APp PB是直角三角形，且ZP PB = 900，: ZBPC = ZCPP + ZPPB = 45o + 9Oo = 135o 例2:如图
3、所示，正方形的边长为1, P、Q分别为边、上的点，AAPQ 的周长为2,求ZPCQ的大小.分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求 角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长，所以可以考虑将APBC绕点c顺时针旋转90，易证E、D、Q三点共线，通过证EPB明AECQ和APCQ全等即可求得ZPCQ的大小.:将APBC绕点C顺时针旋转90。得AEDC ； DZEDC = ZCBP = 9Oo， ZECD = ZPCB， ED = PBqQCE 二 CP ； ZECD + ZDCQ + ZPCQ = ZPCB + ZDCQ + ZPCQ = 900，且 ZEDC + ZCDA = 18Oo
4、，E、D、Q三点共线,即 AQ + AP + PQ = 2， AAPQ 的周长为2又 T AQ + AP + PB + QD = AB + AD = 2，PQ = PB + DQ = ED + DQ = EQCE = CP EQ = PQ，: AECQ = APCQ ；cq = CQI ZPCQ 二 ZECQ 二 450 练习1： P为正方形内一点，且123，求Z的大小.2利用旋转求线段的长度例3：如图，P是等边内一点，2，PB = 2打，4,求的长。分析：本题虽然和、同处一个三角形，但是要求其长还缺角 度，因此直接从已知条件入手是比较困难的，但E是我们只要适当 运用旋转的P方法，就可以是问题
5、简单化；因为本题的a A角形，所以其三边是相等的，因此联想到将内部的 某个三角形进行旋转也是比较容易的；解： 是等边三角形，将绕点B逆时针旋转60，则与重合，: ZABP 二 ZEBC 且 ，连接； ZABP + ZCBP = ZEBC + ZCBP = 6Oo，: AEBP是等边三角形，: EP = PB = 2、3 在 AECP 中：EP2 + EC2 = (2.3)2 + 22 = 16 = CP2 ； ZCEP = 900 ， EC = - PC : ZEPC = 3Oo，ZBPC = 90o，: BC =、PC2 + PB2 = 42 + (2訂)2 =迈8 = 2訂.例4：如图，在
6、梯形中，()，Z90, 12,Z45，若10。求的长度。分析：仔细分析就会发现本题所给D的条件不易经观察容易发现把把绕点B顺时针旋转90可构成一个正方形，然后通过三角形全等，就找出帀直接求得的长度，还需要做一些变化，边之间的关系。解：把绕点B顺时针旋转90得ABGF，连接AG，易证A、G、F 三点一线，且易知四边形为正方形.由旋转可得： ZCBE 二 ZGBF， BE = BF，T ZABE = 45o，: ZABF = ZABG + ZGBF = ZABG + ZCBE = 45of BE = BF： 在 AABE 和 AABF 中：I ZABE = ZABF，AB = ABI 在 AABE
7、 = AABF， AE 二 AF 二 10，设 CE 二 x，贝U AG 二 10 - x， AD = DG - AG = 12 - (10 - x) = 2 + x，DE 二 DC - CE 二 12 - x ；在 RtAADE， AE2 = AD2 + DE2，艮卩 102 二(x + 2)2 + (12 - x)2 ； x2 -10x + 24 = 0， 解之得：x = 4, x = 6;12 的长为 4 或 6.练习2：如图四边形中，ZZ90。，其面积为16，求A到的距离.A3利用旋转探求线段之间的关系例5：如图，在凸四边形中，Z30 , Z60 ,求证:BD 2 = AB 2 + B
8、C2 -分析：由本题的结论不难想到在直角三角形中应用勾股定理可以证得含有平方关系的线段之间的关系，因此我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直角三角形中,、 C/由于，所以可以考虑将AADB绕点D顺时针方向旋转60 /使和重合，这样就可以得到RtABCE，然后通过证明EADBE是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系解:将AADB绕点D顺时针方向旋转60 使和重合，得ADCE并连接 EB ，由旋转可得： AADB 二 ZCDE， ZDCE 二 ZDAB， DB 二 DE ；: ZBDE = ZBDC + ZCDE = ZBDC + AADE = AADC = 600，: ADBE是等边三角
9、形， DB = BE，丁 ZDCB + ZDCE = ZDCB + ZDAB = 27Oo ZBCE = 9Oo ，: RtABCE 中:BE2 = CE2 + BC2， BD 2 = BE 2 = CE 2 + BC 2 例6：如图，在中，Z90,，D、E在上，Z45，求证：CD 2 + BE 2 = DE 2分析：由本题的结论我们可以联想到直角三角形中勾股定理 的结论，因此我们就需要将结论中的三条线段放在同一个直角三 角形中，再由， 我们不难想到将AADC绕点A延顺时针方向旋转90， 这样我们就将DC、be放到了同一个三角形中，EJ同时我们也不难证明ZFBE = 900，然后我们只要设法证
10、明 AAFE = AAED，则结论可得.解：J，将AADC绕点A延顺时针方向旋转90。得AAFB， 连接EF， 由旋转可得： ZFAB 二 ZCAD，ZFBA = ZACD = 45o，FB 二 DC，AF 二 AD ；丁 ZEAD = 45o，: ZBAE + ZCAD = ZBAE + ZFAB = ZFAE = 45o，f AF = AD在 AAFE 和 AAED 中：I ZEAD = ZFAE，: AAFE 二 AAED； AE = AE EF 二 ED，T ZFBE = ZFBA + ZABC = ZACD + ZABC = 9Oo AFBE 是 RtA， BF 2 + BE 2 =
11、 EF 2 = ED 2 练习3：如图、，是正三角形，是顶角Z = 120的 等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交、边于 M、N 两点，连接探究：线段、之间的关系，并加以证明4利用旋转求面积的大小例7：如图正方形中，AB *3，点E、F分别在、上，且Z30 ,Z15，求的面积.AF分析：本题由已知条件直接去求结论是比较困难的 由于该题中含15，30等特殊角度，因此通过旋转/ 可构作出45角，构造三角形全等，通过等积变形来解决 问题是比较容易的。解：将绕A点延顺时针方向旋转90。得， 由旋转性质可知： AG 二 AF，ZBAG = ZFAD = 15o，ZABG = ZFDA =
12、90。，丁 ZABG + ZABC = 1800，点G、B、E三点共线，又丁 ZGAE = ZGAB + ZBAE = 450， ZEAF = 900 一 (150 + 300)= 450，f AG = AF在 AAFE 和 AAGE 中：zGAE = ZFAE，: AAFE 二 AAGE ；AE = AE: EF 二 EG，又 T ZAEF = ZAEG = 60。，RtAABE 中：AB = 3，Z30,. be = 1，在中，ZFEC = 1800 一 (600 + 600)= 600，: EC = BC - BE = 、3 -1， EF = 2EC = 2( j3 -1)，: EF =
13、 EG = 2(、3 -1)，11 s= - X EG X AB = - X 2（f3 -1）= 3 -3，AAEG 22 S = S = 3 p3AAEFAAEG例8：如图A、B、C、D是圆周上的四个点，Ab + cd = Ac + bd 且弦 8，弦 6，则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？图图 2分析：从已知条件直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知 条件Ab + Cd = Ac + Bd，容易发现Ab + Cd正好是整个圆弧的一半， 因此通过将弓形绕圆心旋转使点 D 与点 B 重合，就可以得到直角 三角形，然后求阴影部分的面积就会很容易解：由于Ab + d = Ac + bd，知Ab
14、+ d的长正好是整个圆弧的 一半，将弓形绕圆心旋转，使点D与点B重合（如图2）：则并bc 恰好为半圆弧，为e O的直径，Z90, 由勾股定理可求得 AC =10 ，S = S - S=-兀 52 - -X 6X 8 = 12.5k - 24 阴影 半圆 RtAABC 22练习4：如图是等腰直角三角形，D为的中点，2,扇形和分别 是以、为半径的圆的-，求阴影部分面积.4参考答案：练习1：1350，提示：如图将ABPC逆时针旋转900得AAEB，连接练习 1练习 2练习 3 练习练习 2： 距离为 4，如图通过旋转变换得正方形练习3： MN二NC + BM， 把绕点D顺时针旋转120。得到ACDM， 易证 ADMN = ACDM-练习4： !（._ 1），将扇形和绕D点顺时针旋转180。2观察巧旋转 妙解题沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步 深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题 目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转， 找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以 归纳，供参考。一. 通过旋转，解答角度问题例1.如图1, P是正三角形内的一点，且6, 8,10。求Z的
