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1、等边三角形综合选题已知，AABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)， 以AD为边作菱形ADEF，使ZDAF=60，连接CF。(1) 如图1,当点D在边BC上时， 求证：ZADB二ZAFC； 请直接判断结论ZAFC=ZACB+ZDAC是否成立；(2) 如图2,当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论ZAFC=ZACB+ ZDAC是否成立？请写出ZAFC、ZACB、ZDAC之间存在的数量关系，并写出证 明过程；(3) 如图3,当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧， 其他条件不变，请补全图形，并直接写出ZAFC、ZACB、ZDAC之间存在的等量 关
2、系。解：ABC为等边三角形， .AB=AC，ZBAC=60 VZDAF=60 .ZBAC=ZDAF .ZBAD=ZCAF四边形ADEF是菱形，AD=AFABD 竺AACF.ZADB=ZAFC；结论：ZAFC二ZACB+ZDAC 成立;(2)结论ZAFC=ZACB+ZDAC 不成立，ZAFC、，ZACB、ZDAC之间的等量关系是ZAFC=ZACB-ZDAC (或这个等式的正 确变式)证明：ABC为等边三角形AB=ACZBAC=60VZBAC=ZDAF ZBAD二ZCAF 四边形ADEF是菱形AD=AF,ABD 竺AACF.ZADC=ZAFC又 TZACB二ZADC+ZDAC, ZAFC=ZACB
3、ZDAC；3）补全图形如右图，ZAFC、ZACB、ZDAC 之间的等量关系是ZAFC=2ZACB-ZDAC （或ZAFC+ZDAC+ ZACB=180以及这两个等式的正确变式）。如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC,ZB=90, AD=6, BC=8, AB=3,点 M 是 BC 的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达 点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射 线MC上匀速运动，在点P, Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ,使 它与梯形ABCD在射线BC的同侧，点P, Q同时出发，当点P返回到点M时停止 运动，点Q也随
4、之停止。设点P, Q运动的时间是t秒(t0)。(1) 设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函 数关系式(不必写t的取值范围)；(2) 当BP=1时，求 EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；(3) 随着时间t的变化，线段AD会有一部分被AEPQ覆盖，被覆盖线段的长度 在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写 出t的取值范围；若不能，请说明理由。解：(1) y=2t ；(2)当BP=1时，有两种情形： 如图6,若点P从点M向点B运动，有MB二：BC=4, MP=MQ=3, PQ=6，连接EM,EPQ是等边三角形，EM丄PQ,EM=3加,/
5、AB=3 加,点E在AD 上,EPQ与梯形ABCD重叠部分就是AEPQ,其面积为9屉； 若点P从点B向点M运动，由题意得t=5,PQ=BM+MQ-BP=8, PC=7,设PE与AD交于点F, QE与AD或AD的延长线交于点G, 过点P作PH丄AD于点H,则HP=3亦,AH=1,在 RtHPF 中，ZHPF=30,HF=3, PF=6,FG二FE=2，又 VFD=2,点G与点D重合，如图7,此时AEPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG,其面积为;(3) 能,4WtW5。如图，在等边厶ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以 CD为一边且在CD的下方作等边ACDE，连结
6、BE。(1) 填空：ZACB二度；(2) 当点D在线段AM上(点D不运动到点A)时，试求出的值；(3) 若AB=8，以点C为圆心，以5为半径作。C与直线BE相交于点P、Q两点, 在点D运动的过程中(点D与点A重合除外)，试求PQ的长。解：(1) 60；(2)&U与ADEU都是等边三角形 AC= BC CD = CE ZACB = ZDCE = 60 ， ， ZACD + ZDCB = ZDCB + ZBCE ZACD = ABCE / AD=BE o(3) 当点D在线段山M上(不与点A重合)时，由(2)可知AZUD空人咒应, 则 ZCBE = ZCAD = 30，作UH丄眾？于点H,则PQ =
7、 2HQ , 连结ijUQ二刁在中，ZC8H =3$ , BC = A8=E ,CH = BC- sin 30 = 8xl = 4则在 TQ中，由勾股定理得：略总QH序壬3, 则 PQ = 2HQ 仝。当点D在线段AM的延长线上时，：与心加都是等边三角形 AC= BC CD = CE ZACB = ZDCE = 60 ， ， AACB + ADCB =ADCB + ADCE AACD = ZBCE AACDABCEh/ ZCBE = ZCAD = 30 ，同理可得：FQ = 6当点D在线段AM的延长线上时,:沁C与都是等边三角形A AC=BC , CD = CE, ZACS = ADCB = 60:CD + CE = ABCE + AACE=. ZACD = ZBCE. MCDABCE、SAB、:仝EE =ZCADAC AM = 30:ACBE = ACAD=5 AC BQ = 30同理可得：PQ = 6
