海伦公式的推导和应用

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1、海伦公式的推导和应用海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、 希罗公式、海伦一秦九韶公式，传说是 古代的叙拉古国王希伦 二世发 现的公式，利用三角形的三条边长来求 取三角形面积。但根据Morris Kline在 1908年出版的著作考证，这条公式其实 是阿基米德所发现，以托希伦二世的名 发表。我国宋代的数学家秦九韶也提出 了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一 样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c,三角形的面积S可以下公 式求得：S=A/p(p-a)(p-b)(p-c)而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 注1： 度量论)手抄本中用s作为半周长， 所以S=a/p(p-a)(p

2、-b)(p-c)和S=s(s-a)(s-b)(s-c)两种写法都是可以 的，但多用p作为半周长。 于任 何n边的多边形都可以分割成n-2个三 角形，所以海伦公式可以用作求多边形 面积的公式。比如说测量土地的面积的 时候，不用测三角形的高，只需测两点 间的距离，就可以方便地导岀答案。 证明：与海伦在他的著作度量论)中的原始证明不同，在此我们用三 角公式和公式变形来证明。设三角形的 三边a、b、c的对角分别为A、B、C, 则余弦定理为cosC =(a +b c )/2abS=l/2*ab*sinC=l/2*ab*V(lcosC)=l/2*ab*Vl-(a +b c ) /4a *b =l/4*V4

3、a *b (a +b c ) =l/4*A/(2ab+aD+bD-c )(2ab-a -b +c )=l/4*7(a+b)D-c c -(a-b)=l/4*V(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c) 粘选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载设 p=(a+b+c)/2贝U p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,Jt 式=V(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(a+b+c)/16 =A/p(p-a)(p-b)(p-c)所以,三角形ABC 面积 S=A/p(p-a)(p-b)(p-c)

4、证 明：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基 本一样，其实在九章算术中，已经 有求三角形公式“底乘高的一半”，在实 际丈量土地面积时，于土地的面积并不 是的三角形，要找岀它来并非易事。所 以他们想到了三角形的三条边。如果这 样做求三角形的面积也就方便多了。但 是怎样根据三边的长度来求三角形的面 积？直到南宋，我国著名的数学家九韶 提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜 和大斜。术即方法。二斜求积术就是 用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方, 取相减后余数的一半，自乘而得一个数 小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到 粘选公文范文，管理类，工作总结类，

5、工作计划类文档.感谢阅读下载的那个。相减后余数被4除冯所得的数 作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得 面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以 、a,b,c表示三备形面积、大斜、中斜、 小斜，所以 q=l/4c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2 当 P = 1 时， 2 = q, Sa=a/1/4c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2 因式分解得l/16(c+a) 2-b 2b2-(c-a)2=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8 S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2

6、c) =p(p-a)(p-b)(p-c 根 号 下 (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)代入解得s=8】3 海伦公式的几种另证及其 推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设A ABC中，a、b、c分别为角A、B、C 的对边，ha为a边上的高，R、I分别为A ABC外接圆、内切的半径，P(a+b+c),贝 ISA ABC=1/2 aha=1/2 abxsinC =1/2 r p=粘选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载2R2sinAsinBsinC=p(p-a)(p-b)(p-c)其中，SaABC=A/p(p-a)(p-b)(p-c)就是著名的海伦公 式，在

7、希腊数学家海伦的著作测地术 中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、海伦公式的 证明 证一勾股定理 如右图 勾股定理证明海伦公式。证二：斯氏定理 如右图。 斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：变形S =可知，运用余弦定理c2 = a2 + b2 2abcosC对其进行证明。证明：要证明S = 则要证S =abxsinC此时 S = abxsinC 为三角形计算公式，故得证。 证四：恒 等式恒等式证明恒等式证明(2) 证五：半角定理 .证一，x = = c = pcy = = a=pa z = = b = pb r3 = r =*. SaABC = rp =故得证。 二、海伦公式的

8、推广于粘选公文范文，管理类工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载在实际应用中，往往需计算四边形的面 积，所以需要对海伦公式进行推广。于 三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的 推广为：在任意内接与圆的四边形 ABCD中，设p=，则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA,CB交于点E。设EA = eEB=fV Z1+Z2 =180o Z2+Z3=180oZ 1 =Z3 .I EAB AECD =解得：e =f =于S四边形ABCD =SaEAB 将，跟b=代入公式变 形，得：S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。 三、海 伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应

9、用， 特别是在有关圆内接四边形的各种综合 题中，直接运用海伦公式的推广往往事 倍功半。例题：如图，四边形ABCD 内接于圆 O 中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x 粘选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载海伦公式的推广，得： (4-x)(2+x)2 =27 x4 - 12x2 - 16x + 27 = 0 x2(x21)- llx(x- l)-27(x- 1) = 0 (x1)(x3 +x2 llx27) = 0 x = 1 或 x3+x2 llx27 = 0当 x=l 时,AD = BC =

10、1四边形可能为等腰梯形。 在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox(请输入三角 形第一边的长度 b=inputbox(请输入 三角形第二边的长度 c=inputbox(请 输入三角形第三边的长度 a=l*a b=l*bc=l*cp=(a+b+c)*(a+bc)*(a-b+c)*(a+b+c) q=sqr(p) s=(l/4)*qmsgbox( 三扁形宙衣为,三角形面积在VC卡实 现/include# includemain()int a,b,c,s;printf(输入第一边 n scanf( piintf(输入第二边n scanf( printf( 输入第三边 n scanf( s=(a+b+c)/2;printf( 面积为:fn 海伦公式# include# includemain()int a?b,c,s;printf( 输入第一边n scanf( printf( 输入第二边n scanf( printf(输入第 三 边 n scanf( s=(a+b+c)/2; printf(面积为海伦公式一-粘选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载