《高三数学二轮复习必考问题专项突破17与圆锥曲线有关的定点定值最值范围问题理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学二轮复习必考问题专项突破17与圆锥曲线有关的定点定值最值范围问题理（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、17与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范畴问题1(新课标全国)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48答案： C不妨设抛物线的原则方程为y22px(p0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x.代入y22px得yp，即|AB|2p，又|AB|12，故p6，因此抛物线的准线方程为x3，故SABP61236.2(山东)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范畴是()A(0,2) B0,
2、2C(2，) D2，)答案：Cx28y，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知|MF|y02.以F为圆心、|FM|为半径的圆的原则方程为x2(y2)2(y02)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4y02，y02.3(福建)若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OF的取值范畴为()A32，) B32，)C. D.答案：B如图，由c2得a214，a23，双曲线方程为y21. 设P(x，y)(x)，OF(x，y)(x2，y)x22xy2x22x1x22x1(x)令g(x)x22x
3、1(x)，则g(x)在，)上单调递增g(x)ming()32.OF的取值范畴为32，)4(浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线C1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离，则实数a_.解析因曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离为 2 ，则曲线C1与直线l不能相交，即x2ax，x2ax0.设C1：yx2a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d，因此a.答案本部分重要以解答题形式考察，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考察定点、定值、最值、范畴问题或摸索性问题，试题难度较
4、大复习时不能把目的仅仅定位在知识的掌握上，要在解题措施、解题思想上进一步下去解析几何中基本的解题措施是使用代数方程的措施研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握某些解方程(组)的措施，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题措施；另一方面注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目的的函数，通过函数的最值研究几何中的最值.必备知识有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要注重圆锥曲线定义的运用，以简化运算(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点
5、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2| |x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|与|y2y1|时一般使用韦达定理，即作如下变形：|x2x1| ；|y2y1| .(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一种端点，O为坐标原点，则有|OP|b，a；|PF1|ac，ac；|PF1|PF2|b2，a2；F1PF2F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为
6、坐标原点，则有|OP|a；|PF1|ca.(3)抛物线中的最值点P为抛物线y22px(p0)上的任一点，F为焦点，则有|PF|；A(m，n)为一定点，则|PA|PF|有最小值必备措施1定点、定值问题必然是在变化中所体现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表达问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一种点、一种值，就是规定的定点、定值化解此类问题的核心就是引进变的参数表达直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量2解决圆锥曲线中最值、范畴问题的基本思想是建立目的函数和建立不等关系，根据目的函数和不等式求最值、范畴，
7、因此此类问题的难点，就是如何建立目的函数和不等关系建立目的函数或不等关系的核心是选用一种合适变量，其原则是这个变量可以体现要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际状况灵活解决.该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明难度较大【例1】 (湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点
8、A，B和C，D.证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值审题视点 听课记录审题视点 (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)一方面建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，另一方面把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证(1)解法一设M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，因此x5.化简得曲线C1的方程为y220x.法二由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距
9、离因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)证明当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y03，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整顿得72k218y0ky90.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根，故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，因此y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y1y2y3
10、y46 400.因此，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400. 解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊状况，找出定点或定值，再视具体状况进行研究同步，也要掌握巧妙运用特殊值解决有关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等【突破训练1】 设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一种定值(1)解F(1,0)，直线L的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，x1x21.|AB|8.(2)证明设直
11、线L的方程为xky1，由得y24ky40.y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)Ox1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.是一种定值该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范畴常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点【例2】 (浙江)如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.但是原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程审题视点 听课记录审题视点 (1)运用椭
12、圆的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为求解(2)由题意可知直线l的斜率存在，设为ykxm，结合椭圆方程，线段AB被直线OP平分可求k值然后以AB为底，点P到直线AB的距离为高表达出SABP的体现式，借助导数求最值解(1)设椭圆左焦点为F(c,0)，则由题意得得因此椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x0，与但是原点的条件不符，舍去故可设直线AB的方程为ykxm(m0)，由消去y，整顿得(34k2)x28kmx4m2120，(1)则64k2m24(34k2)(4m212)0，因此线段AB的中点M.由于M在直
13、线OP：yx上，因此.得m0(舍去)或k.此时方程(1)为3x23mxm230，则3(12m2)0，因此|AB|x1x2|.设点P到直线AB距离为d，则d.设ABP的面积为S，则S|AB|d.其中m(2 ，0)(0,2 )令u(m)(12m2)(m4)2，m2 ，2 ，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)因此当且仅当m1，u(m)取到最大值故当且仅当m1，S取到最大值综上，所求直线l方程为3x2y2 20. 求最值或范畴常用的解法：(1)几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特性及意义，可考虑运用图形性质来解决；(2)代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可一方面建立目的函数，再求最值；(3)求函数最值常用的代数法有配措施、鉴别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等【突破训练2】 (陕西五校联考)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A2 B C1 D0答案： A由已知得A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)(2x，y)4
