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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题（文史类）本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。3填空题和解答题的作答：用05毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请
2、将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知则A B C D2若向量，则2a+b与的夹角等于A BCD3若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则=AB CD4将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则A B C D5有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为A18 B36 C54 D726已知函数，若，则x的取值范围为ABCD7设球的体积为，它的内接正方体的体积为，下列说法中最合适的是A比大约多一半B比大约多两倍半
3、C比大约多一倍D比大约多一倍半8直线与不等式组表示的平面区域的公共点有A0个B1个C2个D无数个9九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A1升B升C升D升10若实数a，b满足，且，则称a与b互补，记那么是a与b互补的A必要而不充分的条件B充分而不必要的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。11某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市
4、1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市_家。12的展开式中含的项的系数为_。（结果用数值表示）13在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为_。（结果用最简分数表示）14过点（1,2）的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为_。15里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍。三、解答题：
5、本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知（I） 求的周长；（II）求的值。17（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、。（I） 求数列的通项公式；（II） 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。18（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,（I） 求证：；（II） 求二面角的大小。19（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上
6、的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数。（I）当时，求函数v（x）的表达式；（II）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）。20（本小题满分13分）设函数，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线l。（I） 求a、b的值，并写出切线l的方程；（II）若方程有三个互不相同的实根0、
7、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。21（本小题满分14分）平面内与两定点、（）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。（）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在上，是否存在点，使得的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。A卷：15ACDCB 610ADBBCB卷：15DCABC 610ADBBC二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分。1120
8、1217 13 141或 156，10000三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12分）解：（）的周长为 （），故A为锐角，17本小题主要考查等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12分）解：（）设成等差数列的三个正数分别为依题意，得所以中的依次为依题意，有（舍去）故的第3项为5，公比为2。由所以是以为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为 （）数列的前项和，即所以因此为首项，公比为2的等比数列。18本小题主要考查空间直线与平面的位置
9、关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分）解法1：（）由已知可得于是有所以又由 （）在中，由（）可得于是有EF2+CF2=CE2，所以又由（）知CF C1E，且，所以CF 平面C1EF，又平面C1EF，故CF C1F。于是即为二面角ECFC1的平面角。由（）知是等腰直角三角形，所以，即所求二面角ECFC1的大小为。解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 （） （），设平面CEF的一个法向量为由即设侧面BC1的一个法向量为设二面角ECFC1的大小为，于是由为锐角可得，所以即所求二面角ECFC1的大小为。19本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数
10、学知识解决实际问题的能力。（满分12分）解：（）由题意：当；当再由已知得故函数的表达式为 （）依题意并由（）可得当为增函数，故当时，其最大值为6020=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立。所以，当在区间20，200上取得最大值综上，当时，在区间0，200上取得最大值。即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。20本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分）解：（）由于曲线在点（2，0）处有相同的切线，故有由此得所以，切线的方程为 （）由（）得，所以依题意，方程有
11、三个互不相同的实数，故是方程的两相异的实根。所以又对任意的成立，特别地，取时，成立，得由韦达定理，可得对任意的则所以函数的最大值为0。于是当时，对任意的恒成立，综上，的取值范围是20本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（I）设动点为M，其坐标为， 当时，由条件可得即，又的坐标满足故依题意，曲线C的方程为当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为当时，C2的两个焦点分别为对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是由得由得当或时，存在点N，使S=|m|a2；当或时，不存在满足条件的点N，当时，由，可得令，则由，从而，于是由，可得综上可得：当时，在C1上，存在点N，使得当时，在C1上，存在点N，使得当时，在C1上，不存在满足条件的点N。
