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1、可交换矩阵的性质与矩阵可交换的条件本科毕业论文题目： 可交换矩阵的性质及矩阵可交换的条件 学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学2007级 5 班 姓名: 郭立秀 指导教师： 张红玉 职称： 副教授 完成日期: 2011 年 5 月 20 日可交换矩阵的性质及矩阵可交换的条件摘要：矩阵是贯穿高等代数的核心，本文从交换矩阵的定义出发,通过对矩阵理论的深入研究,对可交换矩阵做了深入的探讨,归纳总结了可交换矩阵的一些性质,矩阵可交换的充分条件、充要条件，求一个矩阵的可交换矩阵的方法,及其在线性代数解题中的应用，并对这些内容进行了举例论证。关键词:矩阵； 可交换； 可交换矩阵;运算性质目
2、 录1引言12 可交换矩阵的性质13 矩阵可交换的条件53.1 矩阵可交换的充分条件53.2 矩阵可交换的充要条件74 可交换矩阵的求法95 例题论证11参考文献151引言在高等代数以及线性代数的中,矩阵是一个重要的内容。由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法，矩阵的乘法不满足交换律，即当矩阵有意义时，矩阵未必有意义，即使、矩阵都有意义时它们也未必相等.或者说,在一般情况下，矩阵,但是在某些特殊情况下，矩阵的乘法也是满足交换律的，从而研究矩阵与的关系具有重要的意义。我们知道若对阶实方阵、，如果满足，则称,可交换.可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理
3、论的研究具有重要的意义2 可交换矩阵的性质性质2。1 设与可交换矩阵，若与均为对合矩阵，则也为对合矩阵。证明 因,又，,所以也为对合矩阵.性质2.2 设与可交换矩阵，若与均为幂等矩阵,则,也为幂等矩阵.证明 因，又,，故也是幂等矩阵,有：性质2。3 若,可交换，且是可逆的，则,也是可交换阵.证明 因，可逆，存在，故, , ，即，可交换。性质2.4 若,可交换，且是正交矩阵,则，也可交换。证明 因，是正交阵，故,，即，交换。性质2。5 设与可交换矩阵，若、均为幂幺矩阵，则也为幂幺矩阵.证明 因, ， ,，可证得。性质2.6 设与可交换，若、均为幂零矩阵,则也为幂零矩阵.证明 因, ,即为幂零矩阵
4、.性质2。7 若与可交换，则以下结论成立： （1）,其中，分别为正整数;(2） ；（3）.证明 (1）由已知,可得，.(2)、(3)可由数学归纳法证得。性质2。8 型如且的二阶上三角阵的可交换阵仍是二阶上三角矩阵且，其中为任意实数。证明又， ， 所以。性质2.9 型如且三阶上三角矩阵的可交换矩阵仍是三阶上三角矩阵 ，且其中为任意实数.证明又,且故.性质2。10 与型如二阶方阵可交换的矩阵为二阶方阵，其中为任意实数。证明，故。性质2.11 型如三阶方阵的可交换阵为三阶方阵，其中为任意实数。证明，. 故性质2。12 如与可交换,则在复数域上、至少有一个公共的特征向量.证明 设是复数于上维线性空间,
5、是的一组基,，使,由于,因此。所以,在复数域上，必有特征值并存在非令向量使得故，又，所以为与的公共的特征向量.复数域上的特征向量为，在下的向量组是与的公共的特征向量.性质2。13 设,是阶复矩阵,则存在一个阶可逆矩阵,使得与同为上三角矩阵.证明 对，的阶数作数学归纳法.当时,结论显然成立.假设结论对于阶矩阵也成立.当，的阶数为时，由于,，至少有一个公共的特征向量，设,，将扩充为 的一组基(均为列向量).设 （1） (2)由得：，于是,由归纳法，假设,存在阶可逆矩阵使得，令,由(1) 、(2） 两式，有，令,则，.3 矩阵可交换的条件3.1 矩阵可交换的充分条件定理3。1.1（1） 设, 至少有
6、一个为零矩阵,则,可交换;（2) 设， 至少有一个为单位矩阵， 则，可交换;(3) 设,至少有一个为数量矩阵， 则,可交换;(4) 设，均为对角矩阵，则,可交换;(5) 设,均为准对角矩阵，则,可交换;(6) 设是的伴随矩阵,则与可交换;（7) 设可逆，则与可交换;(8) 设,则,可交换证明 (1) 对任意矩阵，均有：,表示零矩阵；(2) 对任意矩阵,均有:,表示单位矩阵;（3) 对任意矩阵，均有:,为任意实数;（4） ,（5）显然成立；(6） ;（7） ;（8) 时，均可逆， 且互为逆矩阵定理3。1。2(1） 设,其中,为非零实数，则，可交换;（2） 设,其中为正整数，为非零实数，则，可交换
7、证明(1) 由可得即，故依定理3.1。1得,于是，所以；(2) 由得，故依定理3。1.1得,于是,所以可得定理3.1。3（1） 设可逆，若或或,则，可交换；(2） 设,均可逆, 若对任意实数， 均有,则，可交 换证明（1） 若，由可逆得,从而,故；若，同理可得，故;若,则，故（2) 因，均可逆, 故由得可逆，且，则两边取转置可得.或由两边取逆可得。3.2 矩阵可交换的充要条件定理3。2.1：下列均是，可交换的充要条件:(1);（2)；（3)；(4）;证明 (1) 由,及可证得；(2) 由可证得；（3) 分别由,两边取转置可证得；(4） 分别由，两边取伴随可证得。定理3.2.2 可逆矩阵,可交换
8、的充要条件是。证明 分别由,两边取逆可证得定理3。2.3 （ 1) 设，均为(反) 对称矩阵, 则,可交换的充要条件是为对称矩阵；（2） 设,有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵,则，可交换的充要条件是为反对称矩阵证明(1） 设，均为对称矩阵, 由定理3。2.1(3) ， ,因此为对称矩阵;若,均为反对称矩阵，则因此也为对称矩阵。仿（1）可证（2) 定理3。2.4 设，均为对称正定矩阵， 则,可交换的充要条件是为对称正定矩阵。证明 充分性由定理3。2。3(1）可得,下面证明必要性 因，为对称正定矩阵，故有可逆矩阵，,使,于是,所以为对称正定矩阵， 其特征值全为正数.而与相似， 从而的特征值也全为正
9、数，因此为对称正定矩阵定理3。2。5 ,则与可交换的充分必要条件是、可交换。证明 因，得，所以、可交换。另一方面,，,所以、可交换。4 可交换矩阵的求法定理4。1 若，,其中则与任意方阵可交换;定理4。2 若，其中则可交换的矩阵一定是对角矩阵；定理4.3 一般地,对于任意方阵，可化为Jordan标准型其中 为阶单位方阵， 即存在可逆矩阵,使,这样和与可交换的矩阵应满足,即把等式两边同时左乘,右乘得到：，则与可交换的矩阵，记作可由以下定理得到定理 设则矩阵方程的一般解有以下结构：把写成分块矩阵其中为矩阵块若 （1)，则为零阶矩阵若（2)，则为任意的上三角形矩阵证明 把写成于准对角型矩阵相应的分块
10、矩阵其中为矩阵块则按照分块矩阵的乘法规则,方程可表示成个矩阵方程：,设,即 （1)可能出现两种情况当时，将等式(1)两边同乘以，而在等式右边将 用代入，重复这一步骤次得到以下关系式 （2）又 (3）在（2）式中取，则（2)式右端的和式中每一个项至少满足一下关系式的一个,由(3)有或又 当时，（1）式变为 （4)设,则方程(4）与一下方程同解：其中 即中，位于与对角线平等的每一条线上的元素彼此相等,且（)当时其中为任意参数（) 当时:中任意参数的个数等于数与中较小的一个。5 例题论证 例1 若其中，求可交换矩阵.解 由性质2。9,其中为任意实数.例2 若其中，求可交换矩阵。解 由性质2.10 其
11、中为任意实数.例3 设,求所有与可交换的矩阵，及所有与可交换的矩阵。解 设与可交换的矩阵由,得,，,，,，故所求同样可以求得与可交换矩阵也是例4 (1）设矩阵为为对角矩阵,其中时,则,可交换的充要条件是为对角矩阵（2) 设为准对角矩阵，其中时，,是阶单位矩阵，则，可交换的充要条件是为准对角矩阵证明 （1） 若，均为对角矩阵,则由定理2.1 (4)知,可交换；若与可交换， 时设，,，为对角矩阵,，。由，即得而时,故,为对角矩阵仿（1） 不难证明(2) 例5 已知10阶方阵的Jordan标准型为即存在可逆，使则的初等因子为设与可交换的矩阵其中为矩阵块,的分块方法与相同，则其他使不为零的上三角形矩阵
12、；又与的最大公因式为所以有4个非零参数。同理与的最大公因式的次数为3,所以和都有3个非零参数以此类推,可将表示成其中啊为非零参数，则与可交换的矩阵由以上求法可以看出,如果阶方阵的特征艮没有重根，则与可交换的矩阵只有数量矩阵和零矩阵例6设，是阶复矩阵,其中是幂零矩阵而且,求证.证明 由于, 由性质2。13 , 存在阶可逆矩阵,使得与同为上三角矩阵,又是幂零矩阵，故其特征值全为零.于是，有，从而, .故。参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组。高等代数M。2版.北京：高等教育出版社，1999.2 杨子胥.高等代数习题解M。济南：山东科技出版社，2001。3 阎家灏， 赵锡英。可交换矩阵J。兰州工业高等专科学校学报。20024布合力且木阿不都热合木.论可交换矩阵的一些性质J.和田师范专科学校学报.20085 曾梅兰。线性变换及阵矩可交换的性质与应用J. 孝感学院学报。20066 戴立辉等.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质J.华东地质学院学报。20027 姜景莲。可交换矩阵的性质与求法J。南平师专学报。20038 金辉。矩阵可交换的充要条件J。沈阳师范大学学报.20059 Kailath T。 Linear Systems 。Englewood Cliffs, NJ: Pr
