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1、3.2 立体几何中的向量方法第 1 课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题【学习目标】1了解空间点、线、面的向量表示2理解直线的方向向量与平面的法向量的意义, 并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题问题导学预习新知夯实基础知识点一 直线的方向向量与平面的法向量(1) 用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量 a即直线的方向向量)形式在直线l上取AB =a,那么对于直线l上任意一点P,定存在实 数t使得AP =tAB作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意二点(2) 用向量表示平面的位置通过平面a上的一个
2、定点0和两个向量a和b来确定:条件平面a内两条相父直线的方向向量a, b和父点0形式对于平面a上任意一点P,存在有序实数对X y)使得OP =xa + yb通过平面a上的一个定点A和法向量来确定:平面的法向量直线lXa直线l的方向向量，叫做平面a的法向量确定平面位置过点A, 以向量a为法向量的平面是完全确定的(3) 直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的韭零向量a,叫做直 线l的一个方向向量平面的法向量直线lXa取直线l的方向向量n,叫 做平面a的法向量知识点二 平面的法向量及其求法 在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：(1) 殳平面的法向量为n=(x, y, z
3、);(2) 戈出求出)平面内的两个丕共线的向量a= (a1, bc1), b=(a2, b2, c2);n = 0,(3) 艮据法向量的定义建立关于x, y, z的方程组nn b = 0;(4解方程组，取其中的二组解，即得平面的一个法向量.知识点三 用空间向量处理平行关系设直线l m的方向向量分别为a, b,平面a 0的法向量分别为仏V则线线平行l/m a II b a = kb(kGR)线面平行l/a a 1 u a i=0面面平行all 0 ull v u=kv(kGR)思考辨析判断正误(1) 若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.3)(2两直线的方向向量平行，则两直线平行；两
4、直线的方向向量垂直，则两直线垂直.(x)(3) 若向量nn2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.(x)(4) 若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.(3)(5) 若直线I, 的方向向量分别为a=(1,2 -2), b=(2,3,2,则丄3)题型探究启迪思维探究重点类型一 求平面的法向量例1已知AABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,Q)B(0,2,3)C(1,1,3)试求出平面ABC的 一个法向量.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量解 殳平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z).A (2,1,0)B (0,2,3)C
5、(1,1,3) A! =(2,1,3) BC = (1, -1,0).n B =0,-2x + y + 3z=0,则有即n BC =0,x-y=.x=3z,解得令z= 1,则x = y=3.x = y.故平面ABC的一个法向量为n = (3,3, 1)反思与感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个,它们是共线的.跟踪训练1如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，AD /BC ,ZABC =90 SA丄底面 ABCD，且 SA=AB =BC =1, AD = 建立适当的 空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量.考点 直线的方向向量与
6、平面的法向量题点 求平面的法向量 解 以A为坐标原点，AD,AB,AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴, 立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 则 A (0,0,0) D 1,0,0, C(1,1,Q)S(O,O,则DD= 2,1,0 ,DD= -2, 0, 1 .向量AID = 2，0, 0是平面SAB的一个法向量.设n=(x, y, z)为平面SDC的一个法向量,n (C =|x + y = 0,n DS = -|x + z=0,1y=-2x,即21 z=2x.取 x = 2，得 y= -1, z= 1,故平面SDC的一个法向量为(2,- 1,1)类型二 利用空间向量证明平行问题 例 2 已
7、知正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为 2，E，F 分别是 BB 1，DD 1的中点，求证： (lFCJ/ 平面 ADE ;(2平面 ADE /平面 BCF.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量证明 (1以D为坐标原点，DA , DC , DD 所在直线分别为x轴y轴z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D (O,O,Q)A (2,O,0)C (0,2,0) C1(0,2,2，) E(2,2,1，) F(0,0,1，) B1(2,2,2，)所以FC* = (0,2, 1)DTT = (2,0,Q) At = (0,2, 1)1设n广气，yi，Z)是平面
8、ADE的法向量,n =2x =0，x =0，即 1 1 得 1niAE=2yi + z = 0，zi=_2yf令 z =2,则 y =1，11所以 n =(0，1,2)1因为FC ft1=2 + 2 = 0，所以FC：丄丐.又因为 FC 1 平面 ADE ， 所以 FC 1/平面 ADE .(2)因为吓=(2,0,0)设巴=气，y2, z2)是平面BCF的一个法向量.由n2丄FC：, n2丄C*，=0，得厶.得 n2 FC 1=2y2z2=0 n2 C-1*B1=2x2=0，令1 = 2,得打=1，所以 n2=(0，1,2)因为n =n ,12所以平面ADE /平面Bq.反思与感悟 利用向量证
9、明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和 平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练2如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD , PB与底面所成的角为45底面ABCD为直角梯形，ZABC =ZBAD =90 PA =BC =2AD = 1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE /平面PAB ?若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量B.1 13，2C.3,2 D .2,2解 存在点E使CE II平面PAB .以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴建 立空间直角坐标系 A
10、xyz， P (0,0, 1)C (1,1,0) D (0,2,0)设 E(0, y, z),则P!E = (0, y, zl),PD =(0,2 1),VPE|Pff, Ay(1) 2(z1) = 0,/AD =(0,2,是平面PAB的法向量， 又=(1, y1, z), CE I 平面 PAB, Cf丄AD, A(1, y1, z) 0,2,0=0.y =1,代入得z=|,E 是 PD 的中点，存在E点，当点E为PD中点时，CE /平面PAB .达标检测检测评价达标过关1.已知1的方向向量为V=（1,2,3）的方向向量为v2=（a 4,6）若1/,则久等于（） A 1 B 2 C 3 D
11、4考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 B解析由 1/，得 V1II v2,得=2 = 3，故启 2.2已知直线1, 的方向向量分别为a , b,且a=a+1,0,2） b=（6,21,2Q ,若1J/,则 久与“的值可以分别是（）考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 AXl_ 2解析由题意知 62久2 /_ 1 = 0,启2,启_3,解得或 =2 =23若A(-1,0,1) B(1,4,在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A (1,2,3)B (1,3,2)C. (2,1,3)D. (3,2,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直
12、线的方向向量答案 A解析 因为屈=(2,4,6)所以与血共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量.4.若直线l/ a且l的方向向量为(2 m, 1)，平面a的法向量为1, 2，2，则m为()A ._4 B ._6 C._8 D .8考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 C解析 Vl/ a平面a的法向量为1，2，2，(2 m, 1)1，：2，2 =0，2 +2 = 0，Am = _8.5.在正方体 ABCD _A1B1C1D 1中，平面 ACD 1的一个法向量为考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量答案 (1,1,1答)(案不唯一)解析不妨设正方体的棱长
13、为1，以点D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz,则A (1,0,Q)C (0,1,0)D 1(0,0,1，)设平面 ACD 1的一个法向量 a=(x，y，z)则 a ARC =0, a T = 0.1因为AC = (- 1,1,0, A-r = (- 1,0,1)11 + 1 + 0 = 0,所以1 x + 0 y+1 z=0,x y = 0,x = y,所以所以不妨取x=1,x z=0,x=z,则 a= (1,1, 1)(注：答案不唯一,只要与所给答案共线都对)规律与方法1)应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的
14、法向量垂直)(2) 证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线)(3) 证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示)即用平面向量基本定理证明线面平行)2)证明面面平行的方法设平面a的法向量为叫=毎,* 平面0的法向量为n2=(a2,b2, c2),则all B n JI n2(V S，C) = k(a2, b2, c2)kR).课时对点练强化落卖一、选择题1.若直线l的方向向量为a,平面a的法向量为仏则能使ll a的是()A. a=(1,0,0)“=(-2,0,0)B . a= (1,3,5)(1,0,1)C.a=(0,2,1,) “=(1,0,1)D .a=(1,1,3),“=(0,3,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 D解析由l/ o,故a丄“即a“=0,故选D.2.已知直线l的方向向量a =(2 -3,5)直线的方向向量b= (-4, x, y),若两直线ljl, 则 x，y 的值分别是( )A.6 和一10B.-6 和 10C.6 和一10D . 6 和 10考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 A2
