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1、第三节洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变 换式的推导；2. 狭义相对 论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和 时间的延缓； 重点 难 点 狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求：1. 了解洛伦 兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义 相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间 延缓概念；3. 理解牛顿 力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及 两者的差异。三、洛伦兹坐标变换的推导x vtx vtvc2vc2vx2 c2vcvx c22vc据狭义相对论的 两个基本假设来推导洛仑兹变换式。1. 时 空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和 空间都是均匀的，因此时空坐标间的 变换必须是线
2、性的。对于任意事件P在S系和S系 中的时空坐标（X, y，z, t）、（x； y，z，t），因 S相对于 S 以平行于x轴的速度v作匀速运 动，显然有y=y, z=z。在S系中观察S系的原点，x=0；在S系中观察该点，x=-vt，即x+vt=0。因此X=X +vt。在任意的一个空间点上，可以设：x=k（x +vt）， k 是比例常数。同样地可得到： x=k（x-vt）= k（x+（ -v） t）根据相对性原理，惯性系S系和S系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以 k=k。vt2.由光速不变原理可求出常数 k光信号到达设光信号在S系和S系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么
3、在任一瞬时（t或t）2点在s系和s系中的坐标分别是：x= ct, x= ct，则：k 2xx c tt 2vt x vtk22 ct vt ct vtk tt c 22 v2x vtx vt这样，就得到t vx c21 v c得到vc 2vc2由上面二式，消去Xt vx c若消去 x 得到vc2，综合以上结果，就得到 洛仑兹 变换， 或洛仑兹反变换vtt vx c 2可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。3. 讨 论 （1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改 变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高 t vx c 2 速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现
4、象， 故它有一定的 适用范围。（2）当|v/c|vv1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情 形。故牛顿 力学仅是相对论力学的特殊情形低速极限。四、相对论速度变换公式 洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换 可以得到狭义 相对论的速度变换公式。设物体在S、dxS系中的的速度分别为dx vdtx y zu ,u ,u 换式可得：dx dt v dtuuxx,x根据洛仑兹变dtdxdtvTdxuxv dtc2dt 1 vuxcx 21 v c dt 1 vux c2xvcuxvcuxvx1 vu c 2x因此：因 y=y, z=z ，有 dy= d
5、y, dz= dz 则dydtdy dt 1vuxxv c2，即u y1 v cy1 vux c 。同 理：因此得相对论的速度变换公式uyuzuzvux c2uxuxvx1 VU C2xuy 1v c21 vux c 2uz 1 v cz1 vu c22x，即：其逆变换为：uxux1 vux c2uyuy1 vu c 2xvc2uzuzvuxc2讨论1）当速度u、v远小于光速c时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式ux uxv。（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c。证明：设S系中观察者测得沿x方向传播的一光信号的光速为c,在S系中的观察者cvux
6、21 vc c c测得该光信号的速度为：，即光信号在S系和S系中都相同。第四节狭义相对论的时空观一、 一、 同时的相对性1. 概念 狭义相对论的时空观认为： 同时是相对的。 即在一个惯性系中不同地 点同时 发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿， 在一个相对地球高速飞行的 飞 船上来看，他们不一定是同时出生的。如图设S系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P。当灯发 出闪光时：S 系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A、B 两亠ULJ 端；S系（地面上）的观察者认为，A与光相向运动（V、c反向），B与光同向运动，所以
7、光先到达 A再到达B,不同时到达。3Z1口 口 応结论：同时性与参考系有关这就是同时的相对性。假设两个事件Pl和P2在S系和系中测得其时空坐标为：S:x1，y1， z1，t1 ，x2，y2，S:y1，x1 ， z1，t1，x2y2由洛伦兹变换t1vx1 c2vc2t1t2在 S 系和S 系中测得的时间间隔为 t2t1t2t2 t1z2，t2t2vx2 c2vc2和（t#），它们之间的关系为:x2 x1 c2t2 t1可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。2. 讨论1)在S系中同时发生：t2=ti，但在不同地点发生，x2x1，则有：这就是同时的相对性。2)t1
8、t2t1x2xX1 X2 c2t2t11在S系中同时发生：t2=ti，而且在相同地点发生,t2t1x2vcx2x1 ， 则 有 ：x1xX2XiV 以12vcX1 v c20，t2t10，x2即在S系中同时同地点发生的两个事件，在S系中也同时同地点发生。3)事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后假设在 S 系中t 时刻在 X 处的质点经过X时间后到达X处,则 由：t Xv c2得到t Xv c2 t 1 uv C2因为 vc，uvc2C,所以与At同号。即事件的因果关系,相互顺序不会颠倒。(4)上述情况是相对的。同理在S系中不同地点同时发生的两个事件，在S系看来同 样也是不同时的。5）当v C
9、时,回到牛顿力学。得：、长度收缩（洛伦兹收缩）假设一刚性棒AB静止于S系中1x2x1,在S系中同时t1t2t测量x2x1。由洛伦兹坐标变换式:x1 vt1x2 x1xxx1x1 1，x222x2 x1 vt21 V c2x Vt2 22Vct1x2 x1x x2 Vc1. 固有长度 观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度 或原长），用 l0 表示。即l l0 1 V c2. 洛伦兹收缩（长度缩短）讨论:观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的（1）长度缩短效应具有相对性。若在 S 系中有一静止物体，那么在 体的长度沿运动方向缩短，同理有倍，即物体沿运动
10、方向缩短了， 这就是洛伦兹收缩 （长度缩短）系中观察者将 同时测量得该物l l 1 V c2即看人家运动着的尺子变短了。由洛伦兹变换得P2在S系，事件 1 、2）当 Vc 时，有 三、时 间膨胀（时间延缓）中的时间间隔为t t2tl,事件Pi、P2在S系中的时间间隔为tt2t1 。如果在S系中两事件x2t t2t1同地点 发 生 ， 即t2 t1x1 ，则有：1. 固有时间(原时)的概念vc2vc2vc在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间(原时)。用0 表示， 且：t01 v c2t2. 时间膨胀0在 S 系看来： t ， 称为时间膨胀。3. 讨论(1) 时间膨胀效
11、应具有相对性。若在S系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为At称为原时)， 则同理有就好象时钟变慢了，即 看人家运动着的钟变慢了。(2) 当VvvC时，有(3) 实验已证实卩子，兀介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全 不 同。例 1: 在 惯性 系 S 中 ，有 两个事件 同时发 生， 在 xx 10 轴上相距 1Om处，从另一惯性系S中观察到这两个事件相距S系测得此0103m问由事件的时间间隔为多少？解：由题意知，在S系中，t2t1,即3t2t10 ,2x1x1.0 10 m。而在S系看来，时间间隔为2.0 103 mt2t1 ,空间 间21隔为xx由洛伦兹坐标
12、变换式得：x x V t tx2xx2x12 1 2 12VC由（ 1）式得t t2t12ca/1x2x2VC 2x2VC 2v2X1Cx22x12x11211 2422 1032c3 1031035.77 10 6 s4.3 1016 m。设代入（ 2）式得例2:半人马星座a星是离太阳系最近的恒星，它距地球为有一宇宙飞船自地球往返于人马星座a星之间。若宇宙飞船的速度为0.999 C，按地 球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算， 往返一次的时 间又为多少？2.87 1089a （a 为 annual 之首字母若以飞船上的时钟计算：（原时），因为ts 2 4.3 1016 t8 解： 以地球上的时 钟计算： V 0.999 3 108）；t t 1 V c所以得2V. c1.28 107 s 04a2.871020999
