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1、有关相关和卷积的理解-最通俗深刻的解释，从没有书上这么讲、本质原理并且用通俗易懂的话来阐明相关和卷积的公式都很简单，但是原理真正能吃透的人不是很多。比较自相 关和自卷积，可以很好地理解二者的区别和联系，以及理解他们究竟是干嘛的。 相关是两个时间序列(频域的当然也可以)相似的程度(这个相似程度不仅包含 表示幅度这方面的形状，还包含持续时间这方面的起始终止)，当两个信号形 状一样且起始终止时刻一模一样时，其相关性是最高的。卷积呢，则是两个时间序列之间一种激励和响应得出结果的关系。将一个时 间信号作为输入序列，另一个信号作为系统的响应。设前者为x(n),后者为h(n), 则由于二者各自都有个时间的参
2、数，但二者在时间上不一定同步。卷积关心的正 是二者在时间不同步的情况下(各个时间)激励和响应作用的结果。并且，这种 响应是非因果的，即是不仅要考虑某一时刻输入信号的响应，还要全部包含这之 前所有输入的响应。实际上，根据卷积的数学表达式，真正的卷积定义我们很难 理解。 因为数字信号处理中两个有限长度离散信号卷积的四步计算法计算结果 是从一个负数开始的时间序列(一般)，因为本来这两个信号也经常被定义为从 负数的时刻开始。时刻为负，这不符合常规逻辑！反而是在 matlab 中，系统函 数conv则是将两个信号看成都是从0时刻开始，得出的卷积也是从0时刻开始 的时间序列。这就很好理解了。两个时序信号，
3、都是从0时刻开始有值，那么卷 积(相互作用)结果肯定是从 0 时刻(开始有信号)开始。这很自然。接下来，就是关键了。对于x(n)的一个时刻，比如x(m),必定有一个输入值， 输入了系统h(n),此时对于系统来说，这是x(m)第一次输入，则对其的响应是 h(n)的第一个值，即h(0),二者作用(即是相乘)，得到此时系统对x(m)的输出。 但是，这只是系统输出的一部分，如前所述，整个输出还应包含此前m-1个输入 信号与系统作用的结果。可以这样解释，当输入已经变到x(m)时，实际上输入 信号的前m-1个序列必定已经输入了，而此时我们是把x(m)的时刻记作0时刻， 那么很显然前面的那些x(0)、x(l
4、)、x(m-1)对应的时刻都是已经过去了的时刻， 在h(n)是的时间轴上是在后面了，他们的响应是系统在对应时刻的响应(过了 多少个，响应就是那个对应的响应)，这就解释了为什么是反折的对应相乘。只 要有信号，有响应，那么必定有作用。所有作用叠加(累加，这就涉及到为什么 要是线性时不变系统了)，才是得出对应于x(n)某一时刻输入系统得到响应的 结果！实际上，将x(n)输入系统h(n)，就是将前者翻转过来写，最先的时刻先输 入，对应h(n)前面的值，而x(n)后面时刻的值输入时，对应h(n)的后面的值。 至此，那个玄而又玄、老师从来不讲、一直也没有人质疑的问题为什么卷积就代表了系统对信号的响应输出结
5、果终于得到的实质而又通俗易懂的阐明！醍醐灌顶，豁然开朗啊，爽！这还没完，思维非常细腻、执着、一丝不苟、打破砂锅想到通的你，一定还 会纠结那个时刻为负的问题没事，很简单，既然那么难的本质问题都解决了，还怕这个？时刻为负，即是非因果系统，卷积一样的算，这就是卷积公式了。 在 matlab 中，要自己再去定义了，刚好是将原来 conv 函数的起始终止点重新定 义一下，开始点累加，终止点也累加，得到新的开始、终止点，运算上就over! 只是，别得意太早，这里要考虑的卷积结果的时间起始终止位置的问题会有点小 复杂。比如， x 序列从-3 到 4， h 序列从 1 到 5，那么卷积结果序列为什么 是从-3
6、+1=-2开始呢？同理，若h序列是从T到5，那么卷积结果起始时刻是从 -3+(-1)=-4 开始的，为什么咧？这样看，对于两个序列，计时并不一样，那 么当我们把一个序列变为从0时刻开始时，不妨移动h，相当于把原来时间轴原 点移到h的开始时刻点，则若h开始时刻是正，则原点右移；若h开始时刻是负， 则原点左移。注意，与此同时，由于时间坐标原点移动，则相应的x的时间序 列也要变化！相对应的，当原点向右移时， x 时间坐标都要向右移；当原点向左 移时， x 时间坐标向左移，移动的刻度与原点移动的刻度相等。结合上例，h从1开始，则原点右移，相应x各时刻也要向右移，于是开始 时刻变成-3+1=-2；反之，
7、当h开始时刻是-1，则时间原点要向左移，相应的x 各时刻都向左移，于是-3+(-1)=-4。起始点的问题得到了解决。接下来就神了-因为，上面只是解决了起始时 刻问题，并没有解决起始时刻的卷积怎么算，以h从1时刻开始为例，-2时刻 卷积值是怎么算的呢？这里似乎又涉及到一个时间移位的过程，即是，将原来h 序列再一次移动，将起始点与x的起始点重合，再做卷积运算，这就与因果序 列中两个序列都是从 0开始做卷积一样的算了，即从第一次有重叠信号算到最后 一次有信号重叠，时间不断移位。只不过横坐标不一样，即时刻有变化。同样是 长度为 m+n-1(m、 n 分别是两个序列的长度)，但是再不是从0 时刻起始，也
8、就 不是到 m+n-1 时刻终止了。关于这里的开始终止时刻为什么这样定，笔者还没完 全想清，只知道这么算了。得到的结果，一般也是个非因果的时间序列，在理论 上跟因果的没什么差别，只是，在实际应用中，就很不同了！这个问题，目前笔 者还只能到此，没有什么研究。所以这里可以结啦，呼呼O(G_G)O二、 二者的区别和联系-简单举一个例子，还可以随便增加例子dt=.1;t=0:dt:2*pi;x=sin(t);%一个正弦波， 0 时刻开始，相位为 0a,b二xcorr(x,unbiased);%自相关，且定义为无偏(即将横坐标与理论严格对准)subplot(211);plot(b,a)y=conv(x,
9、x);%卷积subplot(212);plot(b,y)图像为比较自相关和自卷积。同样包含移位和对应相乘，得到的结果序列同样 是 2n-1 （ n 为原序列长度）且是从 -n 到 n ，也即是将一个序列固定从 0 时刻 开始，另一个序列从左向右移动，从两个序列刚开始重合到完全重合再到刚 好错开，横坐标即是从-n到n,对应为相乘在求和得横坐标对应的y值。很 容易想到，当两个序列完全错开时，其相关性为 0，当两个序列完全重合时， 相关值最大,当两序列为其他相对位置时，相关值可能大也可能小。如图一， -60和60的时刻相关值为0,0时刻相关值为最大，在-35左右及35左右时刻， 相关值有一个最小值。
10、这只是自相关，比互相关简单。但有了这里的讲解， 想必也能总结互相关的一些简单结论。比如互相关结果的时间长度，依然是 m+n-l,（m、n分别为两序列的时间长度），当二者错开时，相关为0,当二 者有重合时，便能得到一些值，可能为 0、正、负，所有相关值中，可能有 最大值、最小值，可能有多个，也可能没有规律，等等，具体看了。卷积不同是因为，卷积包含一个反折过程，自卷积时，先对一个序列作 反折（即关于y轴对称），然后再移位，对应相乘，求和，比如对应一个周 期的正弦序列，作反折后y轴左右就不是一样的波形了（相位相反），我们 考虑移动过程中的一个特殊位置x=0,此时两个波形起始终止位置相同，但 是，相位完全相反，因此每一个时刻对应相乘的结果一定是负值，累加结果 就更是负值了。在上面的图2中可以看出，0时刻对应的是最小的幅值（y坐 标）。这是这种关于 y 轴反折后相位变为完全相反的信号的卷积特点了。实际上，卷积和相关在计算时相差一个负号，但是具体计算时要清楚知 道这个负号的含义则需要这样深入思考了。非因果序列的例子就不举了，根据讲解，运算结果可很简单的预知。
