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1、二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数四个“二次”综合题的解题途径一、关于二次函数y=ax2+bx+c的图象1、 函数表达式:一般形式: y=ax2+bx+c标准形式: y=a(x-m)2+n两点形式: y=a(x-x1)(x-x2)2、 若图象经过（m,n）am2+bm+c=n特例：图象在y轴上的截距为t c=t 图象经过原点c=0 图象与轴交于点(1,0) a+b+c=03、 顶点在y轴左侧 - 0 顶点在x轴上方 0 顶点在x轴下方 0图象与x轴相切 f(x)=0有两个相等的实数根a0,=0.图象与x轴相离 f(x)=0 无实数根 a0,0，0，0.都在y轴右侧f(x)=0两
2、个正实根0, -0, 0 . 都在y轴左侧 f(x)=0两个负实根 0, -0.图象与x轴的两交点距离为s a0,0,x1-x2=s ,s= .特别当=1时s=图象与x轴的两交点在x=m的两侧 a0,f(m)0,a0 af(m) 0 , 0 f (x)=0的两个根在m与n之间。6、 图象关于y轴对称且与x轴相交 f(x)=0两个根互为相反数 b=0,c/a07、二次函数在区间n,m 上的极值在函数的顶点和区间端点n或m处。8、图象与对称轴x=m分别与x轴的交点横坐标为 x1、 x2、(x10、f(x)0, =0f(x)是有理系数的完全平方式a0是完全平方数、=0且 b、c是有理数2、二元二次多
3、项式F（x,y）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A0)变形为关于X的二次三项式f(x)=ax2+bx+c则F(x,y)能分解成两个一次因式的乘积f(x)的判别式 是关于y的完全平方式.7、f(x)0的解集是任何实数f(x)的值恒 大于0a0,0f（x）0的解是空集 f（x） 的值不是正数 a0， 0f（x）0的解集是任何实数f(x)的值恒小于0a0 0 f（x）0的解是空集f（x）的值是非负实数a0， 0f（x）的值有正数也有负数 a0， 0四、一元二次方程的f（x）=0根1、 有一个根是f（）=02、含有待定系数k的两个方程f1（x）=0、 f2（x）=0有一个公共根以x和k为未知
4、数的方程组： 练习题1、若抛物线：y=-x2+ax+b-b2 的顶点在另一条抛物线y=4x2+4x+上则a=，b=。2、若函数y=x2-x+k-7的图象与x轴有2个不同的交点，求证这两个交点不可能互为倒数3、已知：二次函数：y=（m2-2）x2-4mx+n的图象的对称轴是x=2，且它的最高点在直线y=x+1上求此二次函数的解析式若此二次函数图象的开口及方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到M点时，图象与X轴恰好交于A、B两点且 ABM的面积等于8，求此时二次函数的解析式。注：顶点为（a，a+1）4、函数y=x2+（a-2）x-2a（a为大于0的常数）的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点左边）
5、，与y轴交于C点且0C= 3OB 。求此二次函数的解析式。(注：先求出方程的两根。)5、方程：x2+px+q=0有一个根为4，抛物线C1：y= x2+px+q经过（。），又有抛物线C2：y=ax2+bx+c，若C1和C2与x轴有完全相同的交点，且它们的顶点关于x轴对称。求C1，C2的解析式6、已知：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。若AC=20，BC=15，ACB=90O，求此二次函数的解析式7、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过（c，2）点，且 aa+bb=0又y2。求此二次函数的解析式。注：y有最大值2，ax2，x1+x2=2（-）,x1
6、-x2=2）12、如果二次函数y=x2-3x+m的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求m的值。13、将抛物线y=2x2-4x-5的顶点的横坐标减去3，纵坐标加上2，得到抛物线L，求L关于y轴对称的抛物线的解析式。14、在直角坐标系中，以P（2，-3）为圆心，5为半径的圆与x轴交于A、B两点如果抛物线y=ax2+bx+c过A、B两点，且顶点在P上求此抛物线的解析式如果C是P上的一点，且ABC 为直角三角形求C点坐标。15、已知：一次函数y=kx+b（k0）图象过（1，2）点，且过二次函数y=（m2-1）x2-（m+1）x+1的图象与y轴的交点求一次函数的解析式如果二次函数与x轴有2个交点，
7、试确定m的范围，若此3个交点的横坐标互为倒数，求m的值。16、若将抛物线的图象向上平移2个单位，则它的图象过原点，将抛物线的图象向下平移1个单位，则它的图象与x轴仅有1个公共点，又知它的顶点在直线y=x+上，求此抛物线的解析式。（注：图象与y轴交于（0，2），且顶点的纵坐标为1，代入直线方程得顶点（2，1），设y=a（x-2）2+1把（0，-2）代入得a=-）17、已知：关于x的二次方程x2+（m2+n2）x+m2+n2-1=0的两个根为、，又点P（，）到坐标原点的距离为1，求点O（m，n）到坐标原点的距离。18、当0x1时，二次函数y=x2-2ax+aa-1的值恒为正，求实数a的范围。19、
8、已知x1、x2是方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0的两个实数根求k的最大值最小值。综合习题公式：sin2+cos2=1 ，tgctg=1rtABC 中 C=900 则 ：sinA=cosB tg A=ctg B，1、已知sin、cos是方程x2+px+q=0 的两根，求1+2q-p2的值。2、已知：A+B=900,sinA+cosB=m .求证：sinA、cosB是方程2x2-2mx+m2-1=0的两实数根。3、是否存在实数m，使得一元二次方程x2-mx+m=0的两个不相等的实数根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，并证明你的结论。（注意m2。不存在）4、已知： ABC中C=90
9、0，两个锐角的余弦是方程x2-2（m+1）x+m2=0的两根，求 m的值。（注：m- ，m=）5、已知方程3x2-43x+3k=0的两根为tg、ctg（为锐角）求和k的值。6、如图 已知： o的半径为1，p为o内一定点，且OP=， AB是过P点的弦，且AB=c，过A、B分别作o的切线相交于K设P到AK、BK的距离分别为a、b，AOB=2。求证：sin= a+b= a、b是方程2x2-c2x+=0的两根。 7、 已知AB是半圆的直径，半圆与直线CD相切于P，AC垂直CD于C，BD垂直CD于D且CD=a，AC=b，BD=c。求证：CP、DP是方程x2 ax+bc=0 的两根。8、已知：抛物线的顶点
10、为A（2，0）交Y轴于B（0，1），点C的横坐标为8，点C关于x轴的对称点C/在此抛物线上，求ABC的面积。（注：SABC= SAOB+SBOC-SBDC ） 9 、如图已知o的半径为2 ，OC=4，CD切o于D。求过A、D、C三点对称轴平行Y轴的抛物线的解析式。 （注：BCD=30O ） 10、二次函数y=-x2+px+q的图象与X轴交于A、B（A、B在原点的两侧）与Y轴的正半轴交于C，若ACB=90O且tgCAB-tgABC=2求函数的解析式。11、已知抛物线：y=4x2+4x+1+p（2x+1）。求证：证明不论p取何值，抛物线必过一个定点。当p取不同值时，抛物线顶点有无最高点或最低点，并
11、说明理由。抛物线与X轴交于A、B，交Y轴负半轴于C，所得ABC面积为3，求p的值及ABC三个顶点的坐标。12、已知ABC的两边之和为10，第三边上的高AD为3，求ABC的外接圆半径的最大值。（取外接圆直径AE）13、已知四边形ABCD是半径为1的半圆的内接等腰梯形，其下底是半圆的直径AB。试求：梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式；当腰长为多少时，周长有最大值，并求这个最大值。14、已知二次函数的顶点坐标是（2，1）且与一次函数的图象交于（0，-3）而此一次函数与直线y=3x平行。求此两个函数的解析式。求此两个函数图象的另一个交点的坐标。设二次函数与X轴交于M、N ，以MN为直径作p，求原点O到p的切线的长。15、已知：抛物线y=x2-（k-2）x+（k+1）2。求证：不论k取何值，抛物线的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9上设抛物线与X轴交于A、B，当AB取最大值时，顶点为C，求k及
