福建省高考压轴卷理科数学试题及答案

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1、2013年福建省高考压轴卷 数学理试题本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.满分为150分,考试时间120钟.参考公式:锥体体积公式 ,其中为底面面积,为高. 第卷(选择题:共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1若复数,其中是虚数单位,则复数的模为( ) A. B. C. D. 22设R,则“”是“直线与直线平行”的( )条件 A. 充分不必要B. 必要不充分 C. 充要D. 既不充分也不必要3设函数,则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 开始否n3n+1n为偶数kk1结束n5,k0是输出k

2、n =1?否是4设等差数列的前项和是,若(N*,且),则必定有( ) A. ,且B. ,且 C. ,且D. ,且5若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( ) A. B. C. D. 6设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为( ) A. B. 或C. D. 或7设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为( ) A. B. C. D. 168已知集合,集合,若,则实数可以取的一个值是( ) A. B. C. D. 9设函数,则函数的零点的个数为( ) A. 4B. 5C. 6D. 710设等差数列满足:,公差. 若当且仅当时,数列的前项和取得最大值

3、,则首项的取值范围是( )A. B. C. D. 第卷(非选择题:共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.11从中任取三个数字,组成无重复数字的三位数中,偶数的个数是 (用数字回答)y(0,7)(7,0)Ox12无穷数列 的首项是,随后两项都是,接下来项都是,再接下来项都是,以此类推.记该数列为,若,则 13若正数满足,则的最小值为 14在ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆 所截得的弦长为 15若整数满足不等式组,则的最大值为 三、解答题:本大题共小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的

4、答题区域内作答16设.()求的最大值及最小正周期;()在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足,,求的值.17已知甲箱中只放有x个红球与y个白球且,乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取2个球, 从乙箱中任取1个球. ()记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P,求当P取得最大值时的值; ()当时,求取出的3个球中红球个数的期望.18已知数列满足,其中N*. ()设,求证:数列是等差数列,并求出的通项公式; ()设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于N*恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由.19已知椭圆C:的离心

5、率为,右焦点到直线 的距离为. ()求椭圆C的方程; ()若直线 与椭圆C交于A、B两点,且线段AB中点恰好在直线上,求OAB的面积S的最大值.(其中O为坐标原点).20已知函数若存在函数使得恒成立,则称是的一个“下界函数”.(I) 如果函数为实数为的一个“下界函数”,求的取值范围;()设函数 试问函数是否存在零点,若存在,求出零点个数;若不存在,请说明理由.21 ()选修4 - 2:矩阵与变换已知矩阵的逆矩阵,求矩阵的特征值. (2)选修4 - 4:坐标系与参数方程在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.(3)选修:不等式选讲:已知函数(1)当时,求不等式的解集;

6、 (2)若的解集包含,求的取值范围.KS5U2013福建省高考压轴卷 数学理试题答案1.B【解析】由题意,得:,复数的模 2.C【解析】由题意,即充分。 又,注意到此时不重合,即必要。3.D【解析】由题意,即为偶函数。 故. 显然单调递增。 所以4.C【解析】由题意,得:。 显然,易得,5.B【解析】由题意,得:n=5,k=0n=16,k=1, n=8,k=2, n=4,k=3, n=2,k=4, n=1,k=5终止,当时,执行最后一次循环; 当时,循环终止,这是关键。输出。6.D【解析】由题意,分或两种情况: (1)时,此时在上单调递减, 故 (2)时,此时在上单调递增,故7.B【解析】由题

7、意,得: 显然,AB最短即通径,故8.A【解析】、不难分析,A、B分别表示两个圆,要满足,即两圆内切或内含。故圆心距,即: . 显然,故只有(A)项满足。9.C【解析】由题意,的零点,即的交点。 易绘的函数图象,且 当时, 依次类推,易得 又, 同理,(4, 0)xy(2, 0)O(6, 0)(8, 0) 不难绘出的函数图象如右,显然零点共6个,其中左边1个,右边5个。 10.B【解析】先化简: 又当且仅当时,数列的前项和取得最大值,即: 11.【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况。【1】没0:2必填个位,种填法;【2】有0:0填个位,种填法;0填十位,2必填个位,种填法; 所以,偶数

8、的个数一共有+=10种填法。12. 【解析】将分组成。 第组有个数,第组有个数,以此类推. 显然在第组,在第组。 易知,前20组共个数. 所以,。13. 【解析】由题意:, 14. 【解析】由题意:设弦长为 圆心到直线的距离15. 【解析】由题意,绘出可行性区域如下:设,即求的截距的最大值。 因为,不妨找出附近的“整点”。有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时,最大.16.【解析】(I)故的最大值为,最小正周期为.(II)由得,故,又由,解得。 再由, .17.【解析】(I)由题意知,当且仅当时等号成立,所以,当取得最大值时.(II)当时,即甲箱中有个红球与个白球,所以的所有

9、可能取值为则,,,所以红球个数的分布列为 于是.18.【解析】(I)证明,所以数列是等差数列,因此,由得.(II),所以,依题意要使对于恒成立,只需解得或,所以的最小值为.19.【解析】 (I)由题意得,所以,所求椭圆方程为.(II)设,把直线代入椭圆方程得到,因此,所以中点,又在直线上,得, 故,所以,原点到的距离为,得到,当且仅当取到等号,检验成立.20解:(I)解法一:由 得 1分记则 2分当时, 所以在上是减函数,当时, 所以在上是增函数, 3分因此 即 5分解法二:由 得 设则 1分(1)若由知在上是增函数,在上是减函数, 2分因为恒成立,所以解得 3分(2)若当且时,此与恒成立矛盾

10、,故舍去; 4分综上得 5分()解法一:函数由(I)知即 6分 7分设函数(1)当时,在上是减函数,在上是增函数,故因为 所以 即 8分(2)当时, 9分综上知 所以函数不存在零点. 10分解法二:前同解法一,7分记 则所以在上是减函数,在上是增函数,因此 9分故 所以函数不存在零点. 10分解法三:前同解法一, 因为故7分设函数因此即 9分故 所以函数不存在零点. 10分解法四:前同解法一,因为故 7分从原点作曲线的切线设切点为,那么把点代入得所以所以(当且仅当时取等号),即 9分故 所以函数不存在零点. 10分21.(1)解:,. ,. 矩阵的特征多项式为. 令,解得矩阵的特征值. (2)解:圆圆心为直线与极轴的交点, 在中令,得. 圆的圆心坐标为(1,0). 圆经过点,圆的半径为. 圆经过极点.圆的极坐标方程为. (3)【解析】(1)当时, 或或 或 (2)原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立

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