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1、2013年福建省高考压轴卷 数学理试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分为150分,考试时间120钟.参考公式：锥体体积公式 ,其中为底面面积，为高. 第卷（选择题:共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数，其中是虚数单位，则复数的模为( ) A. B. C. D. 22设R，则“”是“直线与直线平行”的( )条件 A. 充分不必要B. 必要不充分 C. 充要D. 既不充分也不必要3设函数，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 开始否n3n+1n为偶数kk1结束n5，k0是输出k
2、n =1?否是4设等差数列的前项和是，若(N*,且)，则必定有( ) A. ，且B. ，且 C. ，且D. ，且5若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( ) A. B. C. D. 6设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为( ) A. B. 或C. D. 或7设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为( ) A. B. C. D. 168已知集合，集合，若，则实数可以取的一个值是( ) A. B. C. D. 9设函数，则函数的零点的个数为( ) A. 4B. 5C. 6D. 710设等差数列满足：，公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值
3、，则首项的取值范围是( )A. B. C. D. 第卷(非选择题:共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.11从中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答)y(0,7)(7,0)Ox12无穷数列 的首项是，随后两项都是，接下来项都是，再接下来项都是，以此类推.记该数列为，若，则 13若正数满足，则的最小值为 14在ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆 所截得的弦长为 15若整数满足不等式组,则的最大值为 三、解答题：本大题共小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的
4、答题区域内作答16设.()求的最大值及最小正周期；()在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足,，求的值.17已知甲箱中只放有x个红球与y个白球且，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其它区别). 若甲箱从中任取2个球， 从乙箱中任取1个球. ()记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时的值； ()当时，求取出的3个球中红球个数的期望.18已知数列满足,其中N*. ()设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； ()设，数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.19已知椭圆C：的离心
5、率为，右焦点到直线 的距离为. ()求椭圆C的方程； ()若直线 与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线上，求OAB的面积S的最大值.(其中O为坐标原点).20已知函数若存在函数使得恒成立，则称是的一个“下界函数”.（I） 如果函数为实数为的一个“下界函数”，求的取值范围；（）设函数 试问函数是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.21 ()选修4 - 2:矩阵与变换已知矩阵的逆矩阵,求矩阵的特征值. (2)选修4 - 4:坐标系与参数方程在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.（3）选修:不等式选讲：已知函数(1)当时,求不等式的解集;
6、 (2)若的解集包含,求的取值范围.KS5U2013福建省高考压轴卷 数学理试题答案1.B【解析】由题意，得：，复数的模 2.C【解析】由题意，即充分。 又，注意到此时不重合，即必要。3.D【解析】由题意，即为偶函数。 故. 显然单调递增。 所以4.C【解析】由题意，得：。 显然，易得，5.B【解析】由题意，得：n=5,k=0n=16,k=1, n=8,k=2, n=4,k=3, n=2,k=4, n=1,k=5终止，当时，执行最后一次循环； 当时，循环终止，这是关键。输出。6.D【解析】由题意，分或两种情况： （1）时，此时在上单调递减， 故 （2）时，此时在上单调递增，故7.B【解析】由题
7、意，得： 显然，AB最短即通径，故8.A【解析】、不难分析，A、B分别表示两个圆，要满足，即两圆内切或内含。故圆心距，即： . 显然，故只有(A)项满足。9.C【解析】由题意，的零点，即的交点。 易绘的函数图象，且 当时， 依次类推，易得 又, 同理，(4, 0)xy(2, 0)O(6, 0)(8, 0) 不难绘出的函数图象如右，显然零点共6个，其中左边1个，右边5个。 10.B【解析】先化简： 又当且仅当时，数列的前项和取得最大值，即： 11.【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况。【1】没0：2必填个位，种填法；【2】有0：0填个位，种填法；0填十位，2必填个位，种填法； 所以，偶数
8、的个数一共有+=10种填法。12. 【解析】将分组成。 第组有个数，第组有个数，以此类推. 显然在第组，在第组。 易知，前20组共个数. 所以，。13. 【解析】由题意：， 14. 【解析】由题意：设弦长为 圆心到直线的距离15. 【解析】由题意，绘出可行性区域如下：设，即求的截距的最大值。 因为，不妨找出附近的“整点”。有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时，最大.16.【解析】（I）故的最大值为，最小正周期为.(II)由得，故，又由，解得。 再由， .17.【解析】(I)由题意知，当且仅当时等号成立，所以，当取得最大值时.(II)当时，即甲箱中有个红球与个白球，所以的所有
9、可能取值为则，,，所以红球个数的分布列为 于是.18.【解析】（I）证明，所以数列是等差数列，因此，由得.(II),所以，依题意要使对于恒成立，只需解得或，所以的最小值为.19.【解析】 (I)由题意得，所以，所求椭圆方程为.(II)设，把直线代入椭圆方程得到，因此，所以中点，又在直线上，得， 故，所以，原点到的距离为，得到，当且仅当取到等号，检验成立.20解：（I）解法一：由 得 1分记则 2分当时， 所以在上是减函数，当时， 所以在上是增函数， 3分因此 即 5分解法二：由 得 设则 1分（1）若由知在上是增函数，在上是减函数， 2分因为恒成立，所以解得 3分（2）若当且时，此与恒成立矛盾
10、，故舍去； 4分综上得 5分（）解法一：函数由（I）知即 6分 7分设函数（1）当时，在上是减函数，在上是增函数，故因为 所以 即 8分（2）当时， 9分综上知 所以函数不存在零点. 10分解法二：前同解法一，7分记 则所以在上是减函数，在上是增函数，因此 9分故 所以函数不存在零点. 10分解法三：前同解法一， 因为故7分设函数因此即 9分故 所以函数不存在零点. 10分解法四：前同解法一，因为故 7分从原点作曲线的切线设切点为，那么把点代入得所以所以（当且仅当时取等号），即 9分故 所以函数不存在零点. 10分21.（1）解:,. ,. 矩阵的特征多项式为. 令,解得矩阵的特征值. （2）解:圆圆心为直线与极轴的交点, 在中令,得. 圆的圆心坐标为(1,0). 圆经过点,圆的半径为. 圆经过极点.圆的极坐标方程为. （3）【解析】(1)当时, 或或 或 (2)原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立
