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1、平面向量1向量的有关概念(1)平行向量：方向相同或 _的非零向量；平行向量又叫_ _向量规定：0与任一向量_.(2)相等向量：长度_ 且方向_ 的向量(3)相反向量：长度_ 且方向_ 的向量2向量的线性运算3共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使_ba_.结论：1零向量与任何向量共线2与向量a(a0)共线的单位向量.3若存在非零实数，使得或或，则A，B，C三点共线4首尾相连的一组向量的和为0.5若P为AB的中点，则()6若a、b不共线，且ab，则0.1下列结论正确的打“”，错误的打“”.(1)向量就是有向线段；()(2)零向量没有方向；()(3)若|a|b|，则ab或
2、ab；()(4)若ab，bc，则ac；()(5)若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上()2(2018江南十校联考)化简()AB0CD3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，)A0BCD4(2017太原模拟)向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，向量ab等于()A4e12e2B2e14e2Ce13e2D3e1e25(2015新课标2)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.(2)(2017成都模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A|a|b|且abBabCabDa2b(1)(2017南昌模拟)下列关于向量的叙述不正确的是
3、()A向量的相反向量是B模长为1的向量是单位向量，其方向是任意的C若A，B，C，D四点在同一条直线上，且ABCD，则D若向量a与b满足关系ab0，则a与b共线例2 (1)(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()ABCD(2)(2018山东曲阜期中)如图，在ABC中，、P是BN上的一点，若m，则实数m的值为()ABC1D3(3)(理)(2017河南洛阳统考)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则的值为()ABC1D11)(2018江西临川一中月考)如图，已知a，b，4，3，则()AbaBabCabDba(2)(2017山东师大附中二模)在ABC中，AB2，
4、BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则()A1BCD(3)平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若，则_.(1)设e1与e2是两上不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()ABCD不存在(2)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为()A1BC1或D1或例4 在ABC中，若2，则()ABCD二、向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_ ，ab _，a_ _，|a|_ _.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即
5、为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_ ，|_ .4向量共线的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_ _.1下列命题中正确命题的个数为()在ABC中，、可以作为基底；若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12；若A(3,5)、B(1,9)，则(4,4)；若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.A1B2C3D42(2015新课标卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)3设向量a(2tan，tan)，向量b(4，3)，且ab0，则tan()等于()ABCD4(文)(
6、2016全国卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.(理)(2018吉林省统考)向量a(1,1)，b(x，2)，若(a2b)b，则x()A1BC2D5已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9,8)(m，nR)，则mn的值为_例1 (1)(2014福建)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)(2)如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，则的值为_.(1)如果e1，e2是平面内
7、一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2De12e2与e12e2例2 (1)(2017广西耒宾实验中学诊断)设向量a(1,2)，b(3,5)，c(4，x)，若abc(R)，则x的值为()ABCD(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.(3)(理)(2017东北三省四市二模)已知向量(3,1)，(1,3)，mn(m0，n0)，若mn1，则|的最小值为()ABCD(1)已知a(1，1)，b(1,0)，c(1，2)，若a与mbc平行，则m()A1B1C2D3(2)已知a
8、(sinx，sinx)，b(cosx，sinx)，x(0，)，若ab，则x_.1向量的夹角范围是_.2向量数量积几何意义：ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积3平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角数量积：ab|a|b|cos_.模：|a|_.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|夹角：cos_ = _.已知两非零向量a与b，abab0_ _；1下列结论正确的打“”，错误的打“”.(1)两个向量的数量积是一个向量(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量()(3)若ab0，则a和b
9、的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(4)若ab0，则a0或b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)若abac(a0)，则bc.()2向量a(2，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A6B5C1D63(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.4(2017全国卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.5(2016课标全国)已知向量(，)，(，)，则ABC()A30B45C60D120例2 (1)(2018四川绵阳一诊)已知向量a(x1,2)，b(x,1)，若ab，则|ab|()AB2C2D3(2)若平面向量a、b
10、的夹角为60，且a(1，)，|b|3，则|2ab|的值为()A13BCD1(3)(2018云南昆明一中模拟)已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|_.(1)(2018山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|2|a|2，a与b的夹角为120，则|a2b|(B)ABC13D21(2)(2017吉林市调研)向量a(cos10，sin10)，b(cos70，sin70)，则|a2b|_.例3 (1)已知向量a(2,1)，b(1,3)，则向量2ab与a的夹角为()A135B60C45D30(2)设平面向量a，b满足|a|1，|b|2，|a2b|.则向量a，b的夹角的余弦值为()ABC
11、D上题中a在ab方向上的投影为_.例4 (1)已知向量a(6，2)，b(1，m)，且ab，则|a2b|_.(2)(2017重庆)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()ABCD向量a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为()ABCD(1)(文)(2018河南八市测评)设向量a(cos，2)，b(1，sin)，若ab，则tan_.(理)(2018河南八市测评)设向量a(cos，2)，b(1，sin)，若ab，则sin2_.(2)(2016全国卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8B6C6D8例5 (1)已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，则ab的最大值为_.(2)(2017广西桂林、崇左联合调研)在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为线段BC上的点，则的最小值为()A2BCD4
