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1、平面向量1向量的有关概念(1)平行向量:方向相同或 _的非零向量;平行向量又叫_ _向量规定:0与任一向量_.(2)相等向量:长度_ 且方向_ 的向量(3)相反向量:长度_ 且方向_ 的向量2向量的线性运算3共线向量定理向量a(a0)与b共线,当且仅当存在唯一一个实数,使_ba_.结论:1零向量与任何向量共线2与向量a(a0)共线的单位向量.3若存在非零实数,使得或或,则A,B,C三点共线4首尾相连的一组向量的和为0.5若P为AB的中点,则()6若a、b不共线,且ab,则0.1下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)向量就是有向线段;()(2)零向量没有方向;()(3)若|a|b|,则ab或
2、ab;()(4)若ab,bc,则ac;()(5)若向量与向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上()2(2018江南十校联考)化简()AB0CD3.如图所示,在正六边形ABCDEF中,)A0BCD4(2017太原模拟)向量e1,e2,a,b在正方形网格中的位置如图所示,向量ab等于()A4e12e2B2e14e2Ce13e2D3e1e25(2015新课标2)设向量a,b不平行,向量ab与a2b平行,则实数_.(2)(2017成都模拟)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()A|a|b|且abBabCabDa2b(1)(2017南昌模拟)下列关于向量的叙述不正确的是
3、()A向量的相反向量是B模长为1的向量是单位向量,其方向是任意的C若A,B,C,D四点在同一条直线上,且ABCD,则D若向量a与b满足关系ab0,则a与b共线例2 (1)(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点,3,则()ABCD(2)(2018山东曲阜期中)如图,在ABC中,、P是BN上的一点,若m,则实数m的值为()ABC1D3(3)(理)(2017河南洛阳统考)如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若,则的值为()ABC1D11)(2018江西临川一中月考)如图,已知a,b,4,3,则()AbaBabCabDba(2)(2017山东师大附中二模)在ABC中,AB2,
4、BC3,ABC60,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若,则()A1BCD(3)平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若,则_.(1)设e1与e2是两上不共线向量,3e12e2,ke1e2,3e12ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为()ABCD不存在(2)已知向量a,b不共线,且cab,da(21)b,若c与d共线反向,则实数的值为()A1BC1或D1或例4 在ABC中,若2,则()ABCD二、向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab_ ,ab _,a_ _,|a|_ _.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即
5、为向量的坐标设A(x1,y1),B(x2,y2),则_ ,|_ .4向量共线的坐标表示若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab_ _.1下列命题中正确命题的个数为()在ABC中,、可以作为基底;若a,b不共线,且1a1b2a2b,则12,12;若A(3,5)、B(1,9),则(4,4);若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件可表示成.A1B2C3D42(2015新课标卷)已知点A(0,1),B(3,2),向量(4,3),则向量()A(7,4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)3设向量a(2tan,tan),向量b(4,3),且ab0,则tan()等于()ABCD4(文)(
6、2016全国卷)已知向量a(m,4),b(3,2),且ab,则m_.(理)(2018吉林省统考)向量a(1,1),b(x,2),若(a2b)b,则x()A1BC2D5已知向量a(2,1),b(1,2),若manb(9,8)(m,nR),则mn的值为_例1 (1)(2014福建)在下列向量组中,可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0),e2(1,2)Be1(1,2),e2(5,2)Ce1(3,5),e2(6,10)De1(2,3),e2(2,3)(2)如图,已知平面内有三个向量,其中与的夹角为120,与的夹角为30,且|1,|2,若(,R),则的值为_.(1)如果e1,e2是平面内
7、一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2De12e2与e12e2例2 (1)(2017广西耒宾实验中学诊断)设向量a(1,2),b(3,5),c(4,x),若abc(R),则x的值为()ABCD(2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若cab(,R),则_.(3)(理)(2017东北三省四市二模)已知向量(3,1),(1,3),mn(m0,n0),若mn1,则|的最小值为()ABCD(1)已知a(1,1),b(1,0),c(1,2),若a与mbc平行,则m()A1B1C2D3(2)已知a
8、(sinx,sinx),b(cosx,sinx),x(0,),若ab,则x_.1向量的夹角范围是_.2向量数量积几何意义:ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积3平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a(x1,y1),b(x2,y2),为向量a,b的夹角数量积:ab|a|b|cos_.模:|a|_.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|夹角:cos_ = _.已知两非零向量a与b,abab0_ _;1下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)两个向量的数量积是一个向量(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量()(3)若ab0,则a和b
9、的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角()(4)若ab0,则a0或b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)若abac(a0),则bc.()2向量a(2,1),b(1,2),则(2ab)a()A6B5C1D63(2017全国卷)已知向量a,b的夹角为60,|a|2,|b|1,则|a2b|_.4(2017全国卷)已知向量a(1,2),b(m,1)若向量ab与a垂直,则m_.5(2016课标全国)已知向量(,),(,),则ABC()A30B45C60D120例2 (1)(2018四川绵阳一诊)已知向量a(x1,2),b(x,1),若ab,则|ab|()AB2C2D3(2)若平面向量a、b
10、的夹角为60,且a(1,),|b|3,则|2ab|的值为()A13BCD1(3)(2018云南昆明一中模拟)已知向量a(2,1),ab10,|ab|5,则|b|_.(1)(2018山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|2|a|2,a与b的夹角为120,则|a2b|(B)ABC13D21(2)(2017吉林市调研)向量a(cos10,sin10),b(cos70,sin70),则|a2b|_.例3 (1)已知向量a(2,1),b(1,3),则向量2ab与a的夹角为()A135B60C45D30(2)设平面向量a,b满足|a|1,|b|2,|a2b|.则向量a,b的夹角的余弦值为()ABC
11、D上题中a在ab方向上的投影为_.例4 (1)已知向量a(6,2),b(1,m),且ab,则|a2b|_.(2)(2017重庆)已知非零向量a,b满足|b|4|a|,且a(2ab),则a与b的夹角为()ABCD向量a,b均为非零向量,(a2b)a,(b2a)b,则a,b的夹角为()ABCD(1)(文)(2018河南八市测评)设向量a(cos,2),b(1,sin),若ab,则tan_.(理)(2018河南八市测评)设向量a(cos,2),b(1,sin),若ab,则sin2_.(2)(2016全国卷)已知向量a(1,m),b(3,2),且(ab)b,则m()A8B6C6D8例5 (1)已知向量a(sin,1),b(1,cos),则ab的最大值为_.(2)(2017广西桂林、崇左联合调研)在矩形ABCD中,AB2,AD1,E为线段BC上的点,则的最小值为()A2BCD4