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1、2023年高三一轮复习讲座四 -三角函数主讲教师：王思俭 苏州中学 二、复习要求1、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念； 2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。三、学习指导 1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，但凡与终边相同的角，都可以表示成k3600+的形式，特例，终边在x轴上的角集合|=k1800，kZ，终边在y轴上的角集合|=
2、k1800+900，kZ，终边在坐标轴上的角的集合|=k900，kZ。在三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式l=|R，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。 2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。设P(x，y)是角终边上任一点与原点不重合，记，那么，。利用三角函数定义，可以得到1诱导公式：即与之间函数值关系kZ，其规律是“奇变偶不变，符号看象限；2同角三
3、角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2=2cos2-1=1-2sin2，变形后得，可以作为降幂公式使用。三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设T为非零常数，假设对f(x)定义域中的每一个x，均有f(x+T)=f(x)，那么称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时，kTkZ，k0也为f(x)周期。三角函数图象是性质的重要组成局部。利用单位圆中的三角函数
4、线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法那么。5、本章思想方法（1） 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的根本问题；（2） 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；（3） 分类讨论。四、典型例题例1、 函数f(x)=（1） 求它的定义域和值域；（2） 求它的单调区间；（3） 判断它的奇偶性；（4） 判断它的周期性。分析： 1x必须满足sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及，kZ 函数定义域为，kZ 当x时， 函数值域为 3 f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f(x)不具备奇偶性 4 f(x+2)=f(x) 函数f(x
5、)最小正周期为2注；利用单位圆中的三角函数线可知，以、象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以、象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。例2、 化简，2分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 原式= ，2 当时， 原式=当时， 原式= 原式=注： 1、此题利用了“1的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原那么。一般地有，。 2、三角函数式asinx+bcosx是根本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为取是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sincosx，sinxcosx，要熟练掌握变形结论。例3、 求。分析：原式= 注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式
6、，还需用到代数变形公式，如此题平方差公式。例4、00900，且sin，sin是方程=0的两个实数根，求sin(-5)的值。分析：由韦达定理得sin+sin=cos400，sinsin=cos2400- sin-sin= 又sin+sin=cos400 00 900 sin(-5)=sin600=注：利用韦达定理变形寻找与sin，sin相关的方程组，在求出sin，sin后再利用单调性求，的值。例5、1cos(2+)+5cos=0，求tan(+)tan的值； 2，求的值。分析：（1） 从变换角的差异着手。 2+=(+)+，=(+)- 8cos(+)+5cos(+)-=0展开得：13cos(+)co
7、s-3sin(+)sin=0同除以cos(+)cos得：tan(+)tan=（2） 以三角函数结构特点出发 tan=2 注；齐次式是三角函数式中的根本式，其处理方法是化切或降幂。例6、函数a(0，1)，求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。分析：对三角函数式降幂 f(x)=令 那么 y=au 0a0，0，在一个周期内，当x=时，ymax=2；当x=时，ymin=-2，那么此函数解析式为A、 B、C、 D、4、=1998，那么的值为A、1997 B、1998 C、1999 D、20235、tan，tan是方程两根，且，那么+等于A、 B、或 C、或 D、6、假设，那么sinxsiny的
8、最小值为A、-1 B、- C、 D、7、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5 B、6.5 C、7 D、88、假设0，2，那么使sincoscot，那么sinsinB、 函数y=sinxcotx的单调区间是，kZC、 函数的最小正周期是2D、 函数y=sinxcos2-cosxsin2x的图象关于y轴对称，那么，kZ10、 函数的单调减区间是A、 B、B、 D、 kZ（二） 填空题11、 函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的图象关于y轴对称，那么=_。12、 +=，且(tantan+c)+tan=0c为常数，那么tan=_。13、 函数y=2
9、sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为_。14、 (x-1)2+(y-1)2=1，那么x+y的最大值为_。15、 函数f(x)=sin3x图象的对称中心是_。（三） 解答题16、 tan(-)=，tan=，-，0，求2-的值。17、 是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在闭区间0，上的最大值是1？假设存在，求出对应的a值。 18、f(x)=5sinxcosx-cos2x+xR（1） 求f(x)的最小正周期；（2） 求f(x)单调区间；（3） 求f(x)图象的对称轴，对称中心。 参考答案（一） 选择题 1、B 2、B 3、B 4、B 5、A 6、C 7、C 8、C 9、D 10、B（二） 填空题 11、，kZ 12、 13、-4 14、 15、，0（三） 解答题 16、 17、 18、1T= 2增区间k-，k+，减区间k+ 3对称中心，0，对称轴，kZ
