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1、课时跟踪检测（二十一）二项式系数的性质及应用课下梯度提能一、基本能力达标1已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于()A64B32C63 D31解析：选B由已知(12)n3n729，解得n6，则CCCCCC2632.2若CxCx2Cxn能被7整除，则x，n的值可能为()Ax5，n5 Bx5，n4Cx4，n4 Dx4，n3解析：选BCxCx2Cxn(1x)n1，检验得B正确3(xy)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是()A第4项 B第4、5项C第5项 D第3、4项解析：选B(xy)n的展开式有n1项，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大而(xy)
2、7的展开式中，系数的绝对值最大的项是中间两项，即第4、5项4已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5()A32 B1C243 D1或243解析：选B(ax)5展开式的通项为Tr1(1)rCa5rxr，令r2，得a2(1)2Ca380，解得a2.所以a0a1a5(a1)51.5在n的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于1 024，则中间项的二项式系数是()A462 B330C682 D792解析：选An的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于2n11 024，n11，则中间项的二项式系数是CC462，故选A.6若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数
3、项为_解析：令x1,2n64n6.由Tr1C36rx(1)rx(1)rC36rx3r，令3r0r3. 所以常数项为C332027540.答案：5407已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8_.解析：(1x)102(1x)10其通项公式为：Tr1C210r(1)r(1x)r，a8是r8时，第9项的系数所以a8C22(1)8180.答案：1808若CC(nN*)且(3x)na0a1xa2x2anxn，则a0a1a2(1)nan_.解析：由CCn623，得3n1n6(无整数解，舍去)或3n123(n6)，解得n4，问题即转化为求(3x)4的展开式中各项系数和的问题，
4、只需在(3x)4中令x1，即得a0a1a2(1)nan3(1)4256.答案：2569二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和解：设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，得a0a1a2a9(23)91.(3)由(2)知a0a1a2a91，令x1，y1，得a0a1a2a959，将两式相加，得a0a2a4a6a8，此即为所有奇数项系数之和10已知n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开
5、式中系数最大的项解：(1)由题意可知16，解得n10.Tr1Cx2rx2rC2rx，0r10，且rN.要求该展开式中的有理项，只需令Z，r0,2,4,6,8,10，所有有理项的项数为6项(2)设第r1项的系数最大，则即解得r，rN，得r7.展开式中的系数最大的项为T8C27x15 360x.二、综合能力提升1设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m等于()A5 B6C7 D8解析：选B由二项式系数的性质知，二项式(xy)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即Ca，二项式(xy)2m1的展开式中二项式系数的最大
6、值有两项，即CCb，因此13C7C，所以137，所以m6.2在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且AB72，则展开式中常数项的值为_解析：令x1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n2n72，解得n3.所以二项展开式的通项Tr1C()3rr3rCxr，显然当r1时，Tr1是常数项，值为3C9.答案：93求证：32n28n9能被64整除证明：32n28n99n18n9(18)n18n9CC8C82C83C8nC8n18n91(n1)8C82C83C8n8n18n9C82C83C8n8n182(CC8C8n28n1)，又CC8C8n
7、28n1是整数，32n28n9能被64整除4杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数；(2)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；(3)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，136101535.事实上，一般地有这样的结论：第m1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数试用含有m，k(m，kN*)的数字公式表示上述结论，并给予证明解：(1)C1 140.(2)12222n2n11.(3)CCCC.证明：左边CCCCCCCCC右边1
