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1、优质文档 利用放缩法证明数列型不等式压轴题 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题许多是数列型不等式，其中通常须要证明数列型不等式，它不但可以考察证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考察其它多种数学思想方法，充分表达了实力立意的高考命题原那么。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四那么运算，利用不等式的传递性，其优点是能快速地化繁为简，化难为易，到达事半功倍的效果；其难点是变形敏捷，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大局部学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，盼望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明
2、灯。关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题主体：一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法和裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：1先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列的前项的和，。设，证明：。证明：易得， =点评： 此题的关键是将裂项成，然后再求和，即可到达目标。2先放缩通项，然后将其裂成项之和，然后再结合其余条件进展二次放缩。例2 确定数列和满意，数列的前和为，；I求证：；II求证：当时，。证明：III由I可知递增，从而，又，即当时，。点评：此题II充分利用I的结论，递
3、增，将裂成的和，从而找到了解题的突破口。2、迭乘放缩法：放缩法和迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。例3 确定数列的首项为点在直线上。假设证明对随意的 ，不等式恒成立证明： ，所以。点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比拟更简洁处理。可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，那么积变小，而通项式为的数列在迭乘时刚好相消，从而到达目标。3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进展迭代，从而求解。例4 确定数列满意，证明：。证明：当时，结论成立。当时，易知点评：此题将目标式进展放缩得到
4、递推不等关系，进展迭代，找到解题途径。4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最终二次放缩实现目标转化。例5确定数列的各项均为正数，且满意记，数列的前项和为，且I数列和的通项公式；II求证： 略解：I ，。证明：II反思：右边是，感觉是个的和，而中间刚好是项，所以利用；左边是不能用同样的方式来实现，想到，试着考虑将缩小成是等比数列，从而找到了此题的突破口。5、二项式定理放缩法：在证明和指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特殊有效。二项式定理放缩法有两种常见类型：1局部二项式定理放缩法：即只在式子的某一局部用二项式定理放缩。例6确定数列满意，证明数列是等比数列，并求出通项；假如时
5、，设数列的前项和为，试求出，并证明当时，有略解： ， 那么 ，当时，那么 ，那么因此， 反思：为什么会想到将放缩成？联想到，因为要证明，而是一个数列前项的和，最终通过放缩很可能变成的形式，而应是由放缩后裂项而成，此时刚好得到，接下来就要处理，想到用二项式定理。2完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。例7设数列的前项和为，且对随意的，都有.(I)求的值；II求数列的通项公式；III证明：。略解：III，；证明III，令，那么有，从而，即。点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，必须要严密结合二项式绽开式的特点，联系需证不等式的构造，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决
6、。6、比拟放缩法：比拟法和放缩法的结合，先进展比拟作差或作商，再进展放缩。例8在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，I分别计算，和，的值；II求数列的通项公式将用表示；III设数列的前项和为，证明：，略解：III得， 证明：III由II，得明显，； 当为偶数时，； 当为奇数时，.综上所述，即， 点评： 此题在作差比拟中实施裂项放缩，进而得到最终结果小于0，从而得证。 7、单调函数放缩法：依据题目特征，构造特殊的单调函数，再进展放缩求解。例9设函数，其中证明对随意的正整数，不等式都成立分析：欲证上述结论，干脆作差比拟，无从下手；接着想到令，判定函数的单调性，由于定义域为正整数，不能用导数，
7、只能计算，其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函数，将命题加强，令，判定函数的单调性，假如在单调，那么函数也单调。解：令函数，那么当时，所以函数在上单调递增，时，恒有，即恒成立故当时，有对随意正整数取，那么有二、放缩法的留意问题以及解题策略1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，那么放大，是大于某个项，那么缩小。2、放缩的项数：有时从第一项起先，有时从第三项，有时第三项，等等，即不必须是对全部项进展放缩。3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：1根式的放缩：；2在分式中放大或缩小分子或分母：；真分数分子分母同时加上一个正数，那么变大；，；假分数分子分母同时加上一个正数
8、，那么变小，如；3应用根本不等式放缩：；4二项式定理放缩：如；5舍掉或加进一些项，如：。4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。这须要勤于视察和思索，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。再看例2，假设构造函数，那么前后不等号不相同，不能确定的单调性，此时放缩过当，此题不相宜用单调函数放缩法。假设要证明，那么，所以，从而递增，所以成立，此时用单调函数放缩法可行。同样的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同。5、放缩法的策略以及精度的限制例10确定数列的前项和为，且满意。I数列是否为等差数列？并证明你的结论；II求和；III求证：。
9、简解：12；3证法一：当时，成立；当，=综上所述，。证法二：。点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将放大成，需从其次项起，要分类探讨；而方法二是将放大成。明显比大许多，比更接近。从中可以发觉放缩后的式子越接近放缩前的式子，即放缩程度越小，准确程度越高，保存的项就越少，运算就越简洁。因此，在放缩时，要尽量缩小放缩度，提高放缩精度，幸免运算上的麻烦。本文选取的例题都是高考或模拟考中的压轴题，有必须难度，从中我们可以发觉放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法。对于某个题目可能用到单一的放缩法，也可能用到复合型的放缩法，在平常或考试中遇到数列型不等式的证明问题，我们不能望题兴叹，也不能轻言放弃，更不能盲目瞎撞。多想几个为什么：用放缩法能否解决，是哪种类型的放缩法，要留意什么问题等等。只有正确把握了放缩法的方法思路和规律特征，我们在证明数列型不等式的压轴题时，就会豁然开朗，快速找到突破口，成为解决此类题的高手。
