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1、 23.4 中位线课前知识管理1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是ABC的一条中位线. 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图，在ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EFBC，并且. 名师导学互动典例精析：知识点1：用三角形中位线判断四边形形状例1、在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（ ）（A）等腰梯形 （B）矩形 （C）菱形 （D）正方形【解题思路】因为梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，所以
2、梯形为等腰梯形，等腰梯形的对角线长相等，即AC=BD，而根据三角形中位线定理，可知EF与HG都平行且等于AC的一半，同理，EH和FG都平行且等于BG的一半，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形为菱形.【解】选C.【方法归纳】顺次连结四边形各边中点，原四边形的两条对角线和中点四边形之间的关系为：对应练习：顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形各边中点得到的图形是 .答案：矩形.知识点2：利用三角形中位线计算例2、如图，在等腰梯形中，相交于点，且，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是（ ）A24 B20 C16 D12【解题思路】过D作FDAC交BC的延长线交于E,由
3、已知条件易知是等边三角形,而四边形ACED为平行四边形,易得AC=BD=BE=DE=AD+BC=8,由三角形中位线定理可得,中位线等于第三边的一半,所以顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的周长为16.【解】选C.【方法归纳】梯形中常见的辅助线常有平移一腰，作底边上的高线，平移一条对角线，延长两腰等方法.通过辅助线将梯形转化为特殊三角形，或平行四边形，矩形等以便找出等量关系.对应练习：如图所示，EF是ABC的中位线，BD平分交EF于D，若ED=2，则EB=_.答案：2知识点3：应用三角形中位线定理说明角相等例3、已知，如图，四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、FE的
4、延长线相交于点M，CD、FE的延长线相交于点N.试说明：AMEDNE.【解题思路】因E、F分别是AD、BC的中点，可考虑连结BD，构造出中位线.【解】连结BD，取BD的中点O，连结OE、OF.易得EOAB，且EOAB，FOCD，且FOCD. OEFAME，OFEDNE.又因为ABCD，EOFO，OEFOFE，AMEDNE.【方法归纳】要善于利用点构造“中位线”研究相关问题，一般是由“中点”联想到“中位线”，多数情况下这个想法是行得通的.对应练习：如图所示，在ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（ ）A. B. C. D. 答案：B知识点4：应用三角形中位线定理证明线段相等例4
5、、如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ. 【解题思路】欲证AP=AQ，可考虑证明.根据题设条件，可取BC的中点F，连结FM，FN，（如图3）则MF、NF分别是BCE和BCD的中位线.利用BD=CE易证FM=FN，从而，由平行线的性质可知，于是成立，进而结论成立.【解】证明：取BC的中点F，连结FM，FN，由条件知：MF、NF分别是BCE和BCD的中位线，FMAC，FNBD，.又因为BD=CE，所以 FM=FN。，所以，所以 AP=AQ.【方法归纳】若已知条件中有中点，常取某一边中
6、点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.对应练习：已知，如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且ACBD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.试说明：OMON.解：取AB的中点P，连结EP、FP.易得EPBD且EPBD，FPAC且FPAC.DNEPEN，CMFPFM，又ACBD，PEPF，PENPFM，DNECMF，OMON.知识点5：应用中位线定理求面积例5、如图，在ABC中，BCAC,点D在BC上，且DCAC，ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF，若四边形BDFE的面积为6，求ABD的面积.【解题思路】
7、由题意，易得EFBD ，并推出 AEFABD ，即 ，从而可求出ABD的面积.【解】， .又 ， CF是ACD的中线， 点F是AD的中点. 点E是AB的中点， EFBD， AEFABD， ， ， ，即 的面积为8.【方法归纳】在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比.不要犯由EFBD=12， 得SAEFSABD =12，或SAEFS四边形BDFE =12，之类的错误.对应练习：已知，如图，ABC的中线AD、BE交于点G.试说明：SABGS四边形CEGD.解：连结DE，易得DEAB，SABESABD.又因为AD是ABC的BC边上的中线，SABDSAC
8、D，SABESACD.SABESAEGSACDSAEG，即SABGS四边形CEGD.易错警示例6、已知等腰ABC中，C=90，AB=10，D、E分别是AB、AC的中点，求DE的长.错解：由已知可得，DE是ABC的中位线，所以DE=AB=5.错因分析：DE是ABC的中位线没错，但中位线DE的第三边却不是AB，而是BC，造成错解的原因是对中位线定理中的“第三边”理解不透.正解：由已知可得：BC=AB=5，因此DE=BC=.课堂练习评测考点1：三角形中位线1、如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：BC=2DE；ADEABC；其中正确的有熊方亮考分类2010中考精品word模板批
9、量转换器2010精品分类汇编（7月16）123456黄刚 中德鹏 （ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个2、如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿AD 对折，点C落在点C的位置，则BC与BC之间的数量关系是 .3、如图，是的中位线，cm，cm，则 cm，梯形的周长为 cm课后作业练习【基础过关】1连结三角形_的线段叫做三角形的中位线2三角形的中位线_于第三边，并且等于_3一个三角形的中位线有_条4如图(1)所示，EF是ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_cm (1) (2) (3) (4)5三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形
10、的周长是_cm6在RtABC中，C=90，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_7若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（ ）A4.5cm B18cm C9cm D36cm8如图(2)所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（ ）A15m B25m C30m D20m9已知ABC的周长为1，连结ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个
11、三角形，依此类推，第2007个三角形的周长是（ ）A10如图(3)所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）A线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐减少C线段EF的长不变 D线段EF的长不能确定11如图(4),在ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（ ）A10 B20 C30 D40【应用拓展】12如图所示，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OEBC13如图所示，在ABC中，点D在BC上且CD=CA
12、，CF平分ACB，AE=EB，求证：EF=BD14如图所示，已知在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MNBC【综合提高】15某厂有一块如图所示的ABC铁板，根据需要，现要把它加工成一个平行四边形铁板要把材料完全利用起来，可怎样加工？请你利用学过的知识帮助工人师傅把切割的线用虚线画出来，并指出加工后的平行四边形能否将此三角形铁板加工成长方形？请予以探索 16、如图所示，在ABC中，AD是中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点.试说明AF、FC的关系.17、如图所示，AE平分BAC，BEAE，垂足为E，D为BC的中点，BAE=36，则试求BED的度数.18、已知：如图所示，BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G连结FG，延长AF、A
