《暑期班第14讲.导数的应用.文科.学生版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《暑期班第14讲.导数的应用.文科.学生版（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十四讲导数的应用高考规定1理解函数单调性和导数的关系；能运用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）2理解函数在某点获得极值的必要条件和充足条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）知识精讲（一）重要措施1运用导数判断单调性：如果函数在的某个开区间内，总有（），则在这个区间上是增（减）函数2运用导数研究函数的极值与最值：极值的定义：函数的定义域内的一点，如果对附近的所有点，均有（），则称函数在点处取极大值（极小值），记作（或），并把称为函数的一种极大（极小）值点，统称极
2、值点求函数的极值的措施：先求方程的所有实数根，再考察每个根附近，导函数的符号与否变化，符号发生变化的相应的是极值点，否则不是求函数最大（小）值的措施：先求出函数在区间内的极值点，再比较极值与区间端点处的函数值，得到函数的最值（二）典例分析【例1】 已知函数，若的单调递减区间是，则的值是 （广东卷9）设，若函数有不小于零的极值点，则（ ）A B C D【解析】 ；为二次函数，故原函数的递减区间是，因此是方程的两个实数根，由韦达定理，A；，由题意知有正根，故，且【变式】 已知函数，若在上是单调增函数，则的取值范畴是 【解析】 ；函数在上是单调增函数 ，分类讨论：当，即，即时，条件成立；当，即时，条
3、件成立；综上，当时，条件成立，为所求【例2】 已知是上的单调增函数，则的取值范畴是（ ）A或 B或C D【解析】 D；，由题意知，在上恒成立，故，解得【变式】 函数在区间上单调递增，求的取值范畴【解析】 分析：导函数在时为二次函数，可以考虑图象只需，且，解得而当且，即时，只有在时才等于零，在其他点都不小于零，故此时函数仍然单调递增故【例3】 （全国卷I）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范畴【解析】 ，其鉴别式若，即，当或时，故在为增函数因此满足若，恒有，在为增函数，因此，即；若，即，令，解得，当或时，为增函数；当时，为减函数依题意且由得，解得；由得，解得，从而综上，的取值范畴为【例4】
4、求函数的单调区间与极值【解析】 ，令，解得；令，解得或故的单调增区间为；单调减区间为和；有下表：从而，在时取到极小值；在时取到极大值【变式】 求函数的单调区间与极小值【解析】 当时，；当时，时，恒有，令，解得当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故在处获得极小值为【例5】 已知函数，若在上是增函数，求的取值范畴【解析】 ，若在上是增函数，只需在上，恒成立，即恒成立在上，有，故只需而当时，只有在时，才有，在上总有，即函数在上单调递增综上，时，函数，是增函数【例6】 （福建）已知函数的图象在点处的切线方程为求函数的解析式；求函数的单调区间【解析】 由函数的图象在点处的切线方程为，知，解得（舍
5、弃，）所求函数的解析式是令，解得当或时，；当时，综上，在内是减函数，在内是增函数，在内是减函数【例7】 （江西）已知函数在与时都获得极值，若对，不等式恒成立，求的取值范畴【解析】 如果能求出在上的最大值，令其即可函数的极大值与端点处的值之间的最大者，为函数在该区间的最大值，由，得，即易知是的极大值点，1是的极小值点将的值代入有，时，为极大值，而在端点处的值为，则为最大值要使（）恒成立，只需，解得或【例8】 （全国）已知，函数，当为什么值时，获得最小值？【解析】 ，令，解得，的单调区间如下表所示：极大值极小值在=处获得极大值，在=处获得极小值，于是由单调区间知在上的最小值为只需要证明当时，则为的
6、最小值当时，即注意到，而当时=，因此时，由的单调性知因此时，因此当时，获得最小值【变式】 设函数证明：的导数；对所有的成立【解析】 的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）令，则，在上单调递增，当时，即对所有的成立【例9】 （天津卷）已知函数，其中，为参数，且当时，判断函数与否有极值；要使函数的极小值不小于零，求参数的取值范畴；【解析】 当时，则在内是增函数，故无极值，令，得，由，只需分下面两种状况讨论当时，随的变化的符号及的变化状况如下表：极大值极小值因此，函数在处获得极小值，且，要使，必有，可得故或；当时，随的变化，的符号及的变化状况如下表：+00+极大值极小值因此，函数在处获得极小值，且若
7、，则矛盾因此当时，的极小值不会不小于零综上，要使函数在内的极小值不小于零，参数的取值范畴为【例10】 设是函数的一种极值点求与的关系式（用表达），并求的单调区间；【解析】 ，由，得，得，则令，得，由于是极值点，那么当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数当时，则在区间上，为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数【例11】 已知二次函数满足：在时有极值；图象过点，且在该点处的切线与直线平行求的解析式；求函数的单调递增区间【解析】 设，则由题设可得：，即，解得因此，列表：极小值极大值极小值由表可得：函数的单调递增区间为和【例12】 （安徽）已知函数在上有定义，对任
8、何实数和任何实数，均有证明；证明，其中和均为常数；当中的时，设，讨论在内的单调性并求极值【解析】 令，则，当时，令得：，又，设有：；当时，令得：，令，有，综上知： ，和均为常数；当时，令，得或；当时，单调递减；当时，单调递增；因此当时，函数在内获得极小值，极小值为【例13】 （安徽18）设，令，讨论在内的单调性并求极值；求证：当时，恒有【解析】 根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，因此，在处获得极小值证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增长因此当时，即故当时，恒有家庭作业习题1. 函数的单调增区间为（ ）A B C
9、D【解析】 B；令，得习题2. 函数的导函数图象如下图所示，则函数在图示区间上（ ）A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点【解析】 由于导函数的图象与轴的四个交点处都是穿过的，因此都是极值点，根据正负变化状况知，第一种与第三个交点相应极大值点，第二个与第四个交点相应极小值点（从左到右），故选C习题3. 函数的极大值是 ；极小值是 【解析】 、；，在处获得极大值；在处获得极小值习题4. 设函数，其中求的单调区间；讨论的极值【解析】 由已知得，令，解得随的变化状况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；
10、在上单调递减；在上单调递增由知，当时，函数在处获得极大值，在处获得极小值月测备选a) 函数是减函数的区间为（ ）A B C D【解析】 D；b) 函数的最大值是（ ）A B C D【解析】 A；，故在上单调递增，在上单调递减，又此函数的图象为一条持续的曲线，故最大值为c) 已知函数在点处获得极大值，其导函数的图象通过点，且开口向上求：的值；的值【解析】 由题意得：极大值极小值则；，依题意得，即，d) （全国21）设，函数若是函数的极值点，求的值；若函数，在处获得最大值，求的取值范畴【解析】 由于是函数的极值点，因此，即，因此经验证，当时，是函数的极值点由题设，当在区间上的最大值为时，即故得反之，当时，对任意，而，故在区间上的最大值为综上，的取值范畴为
