射影几何学

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1、射影几何学射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的 图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何 处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学 同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古 希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几 何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投 影和截影。早在公元前 200 年左右，阿

2、波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的 截线来研究。在4 世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平 面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上 就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘 出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的 变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学 科。射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七

3、 世纪。在17 世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立 而做出了重要贡献的是两位法国数学家笛沙格和帕斯卡。笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工 程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法 来证明圆锥曲线的定理。1639 年，他出版了主要著作试论圆锥曲线和平面的相 交所得结果的初稿，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯 卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被 看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的

4、基础。用他的名字命名的迪沙格定 理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成 立”，就是射影几何的基本定理。帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641 年，他发现了一 条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯 卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658 年，他写了圆锥曲线 论一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促 他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本 命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册 子。不过迪沙格和帕斯卡的

5、这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质（长度、 角度、面积）。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他 们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的 探讨也中断了。射影几何的主要奠基人是 19 世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学 生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被 长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。1822 年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是 一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几

6、何方法引进无穷远虚圆点，研究了配 极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形 的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施 陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由 于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的 I H一步。另方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建 一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线 交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远 线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐标

7、概念，于是从代数观点就自然得 到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。在 19 世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学 家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳 等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其 局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。他们 的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些 问题论证直接?蚪唷?882 年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概 念产生以后，也

8、被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用。把各种几何和变换群相联系的是克莱因，他在埃尔朗根纲领中提出了这个观 点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明 朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。 后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。主要内容概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的 位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变 性质的科学。在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无 穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这

9、两条直线就交于这两 条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成 立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可 以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投 影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线， 线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不 变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明

10、两个平面点之间的射影对应。在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一 直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把 其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到 另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直 线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时 候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立， 那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个 命题成立，那么它的对

11、偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。 如果就几何学内容的多少来说，射影几何学 仿射几何学 欧氏几何学，这就是说 欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以 讨论仿射几何学的对象（如简比、平行性等）和射影几何学的对象（如四点的交比 等），反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不 能讨论图形的度量性质。1872 年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的爱尔朗根计划书 中提出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”， 就有相应的几何学，而在每一种几何学里，

12、主要研究在相应的变换下的不变量和不 变性。研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质。一度也叫做投影几 何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何 联系起来。扩大空间和射影空间 在一个欧氏（或仿射）平面上，两条直线一般相交于 一点，但有例外，平行线不相交。这种例外，使某些定理显得复杂。为了排除这种 例外，在每条直线上添上一个理想点，叫做无穷远点，并假定平行直线相交于无穷 远点。添上无穷远点的直线叫做扩大直线，它是闭的，象圆周那样，去掉它上面一 点，不会使它分成两截。再假定不平行的直线有不同的无穷远点，这样，平面上一 切无穷远点的集合就叫做无穷远（直）线，而添

13、上无穷远线之后的平面就叫做扩大 平面。扩大平面也是闭的，去掉它上面一条直线，不会使它分成两块。同样，三维欧氏（或仿射）空间中一切无穷远点的集合叫做无穷远（平） 面。添上无穷远面后的空间叫做扩大空间，它也是闭的。在扩大空间，不但平行直 线交于一个无穷远点,而且平行平面交于一条无穷远直线,一条非无穷远直线和一个 与它平行的平面交于一个无穷远点。如果再进一步，把无穷远元素（点、线、面）和非无穷远元素平等看待，不 加区别，扩大空间就叫做射影空间。同样，从扩大直线和扩大平面可以得到射影直 线和射影平面。在射影空间里，平行的概念消失了：两条共面直线或一个平面和一 条直线总相交于一点，两个平面总相交于一条直

14、线；此外,每两点总决定一条直线, 每三个不共线点总决定一个平面，等等。齐次坐标 为了能用代数方法来处理射影（或扩大）空间的几何问题，需要引 进齐次坐标（有时还引进射影坐标）。仍从欧氏（或仿射）平面开始。设在平面上已经建立了以为原点的直角（或仿射）坐标系，（口，口）为一点口的坐标。令则比值口0:口1:口2完全确定 的位置，（口0,口1,口2）就叫做的齐次（笛氏）坐标。原点的齐次坐标显然可 以写成（1,0,0）。设不是原点，则口1,口2不同时等于零；再令口1,口2固定，而 令口0向0接近，则点沿一条经过而斜率为口2: 口 1的直线向远方移动。设 表示扩大直线上的无穷远点，则可以认为，当口0趋于口时

15、，趋于。因此, 可以把（0,口1,口2）作为的齐次坐标，特殊地，（0,1,0）和（0,0,1）依次是轴和 轴上无穷远点的齐次坐标。这样，每一组不同时为零的三个数口0,口1,口2都是 扩大平面上一点的齐次坐标，而若口为不等于零的数，贝V （口口0,口口1,口口2）和 （0,口1,口2）代表同一点，下面引进记号（） = （口0,口1,口2）,口（口）= （口口0,口口1,口口2）。设口（口1,口2不都是0）是欧氏（或仿射）平面上一条直线的方程。在用齐 次坐标表示时，它可以写成口， （1）这也就是扩大直线的齐次方程，这直线上的无穷远点是（0,口2,- 1）。扩大平面上的无穷远直线方程显然可以写成口0

16、=0。这样，每一个齐次线性 方程都代表扩大平面上一条直线。由于比值口0:口1:口2完全确定直 线，（口） = （口0,口1,口2）就叫做（齐次）线坐标。为了区别两种齐次坐标，上面引进 的（口）= （口0,口1,口2）就叫做（齐次）点坐标。方程（1）叫做点（口）和线（口）的关 联条件或接合（即（口）在（口）上，或（口）经过（）条件。当不区别无穷远元素和非无穷远元素，使扩大平面成为射影平面时，（口）和 （）就依次成为射影平面上的齐次点坐标和线坐标，它们都可以看作射影坐标的特 款。与此类似，可以得到扩大或射影直线上的点坐标（口） = （口0, 口 1）以及扩大或 射影空间的点坐标（口）= （口0,口1,口2,口3）和面坐标（口）= （口0,口1,口2,口3）。 在扩大或射影空间中，点（口）和面（口）的关联条件是口下面，除非特别指明，所讨论的空间，