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1、4.5 随机过程的功率谱密度当我们在时间域内研究某一函数的特性时，如果确定起来不方便，在数学上我们可以考虑将此函数通过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进行研究，最终目的是使问题简化。傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。在频率域内，频率意味着信息变化的速度。即，如果一个信号有“高”频成分，我们 在频率域内就可以看到“快”的变化。这方面的应用在数字信号分析和电路理论等方面应用 极广。是不是任何一个时间函数都可以将其通过傅氏变换变到频率域去研究呢？我们说当时间函数x(t)( t )满足绝对可积条件时可以。x(t)dt然而，随机过程的样本函数，即X(
2、t) Xi(t), L ,Xn(t), L ,x,(t)丄,Xn(t)L 一般不满足绝对条件，因此随机过程不 能直接进行傅氏变换。此外，很多随要过程的样本函数极不规则，无法用方程描述。这样， 若想直接对随要过程进行谱分解，显然也不行。但是，对随机过程进行某种处理后，同样可 对随机过程施行傅里叶变换。4.5.1功率谱密度为了研究随机信号的傅氏变换，我们首先简单复习一下确定信号S(t)的频谱、能谱密度及能量概念，然后再引入随机过程的功率谱密度概念。定理 设S(t)是一个确定信号且时间在 (，)上满足绝对可积条件，则S(t)的傅氏变换存在，或者说具有频谱S( ) S(t)e J t dt S(t)
3、S( )eJ tdS(t) FF1s()对于定理的物理解释是，S(t)代表电流或电压，则定理条件要求 s(t) dt ，即是要求S(t)的总能量必须有限。由积分变换的巴塞伐公式即:|S(t)2dt|S(t)|2 dt12丄2i21 j tS(t)S( )eJ td dtS( )S*( )dS( ) S(t)eJ tdtd|S( )|2dF面我们来解释一下公式的物理含义:若把S(t)看作是通过1 Q电阻上的电流或电压，则左边的积分表示消耗在1 Q电阻上|2的总能量，故右边的被积函数 |s()相应地称为能谱密度。然而，工程技术上有许多重要的时间函数总能量是无限的，不能满足傅氏变换绝对可积条件，如正
4、弦或余弦函数就是。我们要研究的随机过程，由于持续时间是无限的，所以其总能量往往也是无限的，所以随机过程的频谱不存在。那么该如何应用傅氏变换工具来对随机过程进行研究呢？我们是这样考虑的，一个随机过程X(X) Xdt)丄，Xn(t)丄，尽管它的样本函数总能量是无限的，但它的平均功率是有限1 T2的，即：W lim 一 x(t) dte T 2T T *这是随机过程的样本函数在时间域上的平均功率表示。这样，对随机过程的样本函数而方，虽然研究它的频谱没有意义， 但研究它的平均功率的傅氏变换却有意义。x(t)，再将本函数x(t)任意截取一段，长度为2T,并记为XT(t)。称XT(t)为原样本函数x(t)
5、的截取函数，如右图所示。|t| T|t| T用公式表示即为XT(t)x(t)于是xT(t) dt满足绝对可积条件。j tT XT(t)存在付氏变换，即 Xp ( )xT(t)edtTxT(t)e j dt1 . tXp(t) 2-Xt( )ej dt这里Xt()称Xp (t)为的频谱函数。又由于随机过程 X(t) X!(t)丄,Xn(t),L 在随机试验中取哪一个样本函数具有不确定性。因此，不同的试验结果，就意味着随机过程可能取不同的样本函数，亦即样本函数与试验结果有关，为此，可将样本函数进一步表示为x(t,e),当然该样本函数的截取函数也可相应表示为Xp(t,e)，显然它的傅氏变换也可表示为
6、xT (t, e)。又/ Welim T 2TX(t)2dtTim1 T2T T2x(t,e) dtTim2TTTxp(t,e)xT ( , e) ej tddtlim丄T 2Tlim t 2T丄2J2尹( lim Ixr (T 2T iXt(,e)txT (t, e) e j( dt d,e)Xp(,e) d2 1,e) d -tim2TGx( ,e) d1 *Xt( ,e)Xp( ,e) d由于引入随机过程样本函数的截取函数定义,所以又可给出上式随机过程的样本函数平均功率在频率域的表示形式。1 2在上式中，令Gx( ,e).lim岔区(,e)则称上式为随机过程 X(t)的样本函数的功率谱密
7、度函数1 2定义样本函数的功率谱密度：GX ( , e) li |xT( ,e)式中，x.( ,e)为截取函数x.(t,e)的频谱。又随机过程是由一族样本函数组成，即X(t) 为丄,Xn(t),L 显然对每一个样本函数，按照上面类似的方法都可以求出它的一个样本函数的功率谱密 度，于是对所有的样本函数取统计平均就可给出随机过程的功率谱密度定义。定义随机过程的功率谱密度:同样定义Xt (t)X (t)0|t | T|t | TGx( ,T)XT(t) e j tdtT(t)e j tdt,定义：X(t)为均方连续随机过程2 lim E T2T；X(t)2dt为X(t)的平均功率；称 Sx( ) T
8、im E 2tGx(，T)|2为X(t)的功率谱密度，简称谱密度。根据帕塞伐公式及傅氏反变换，有TTX(t)2dt21Gx( Rd所以:2 limT12T|x (t)|2 dtTim|G x (1212E 2T 21lim E |G x (T 2T iSx ( )d,T)2d,T )|2 d求随机过程的平均功率可用两种方法，一种方法是求出Sx()，即过程的功率谱密度,然后再积分，另一种方法是先求出过程的均方值E X2(t)，再积分。特别地，当我们研究的随机过程是平稳过程时,此时的平稳过程平均功率可表示为:/ X(t)平稳2 EX (t)2XRx (0)Tim2T丄2T:EX2(t)dtT22T
9、 xdtxRx(O)例题 随机过程X(t)为X(t)cos( Ot),式中，a, 0是常数，是在(0,-)上均匀分布随机变量，求X( t)的平均功率。解:2 lim T EX2(t)dtT 2T T2 2 2又 EX (t) Ea cos ( ot )0t2a22a22a22冬 sin(22 cos (20t)0t)-d显然该过程不平稳。 因止匕2 limT12T2sin(ot)2dt 2功率谱密度与自相关函数的关系则过程X(t)的相关函数和功率谱密度之间存在付氏变换，即Sx(Rx( )e j dRx()Rx()J2FF 1)Gx( )ej dGx()Gx()FRx(F 1Gx( ) Rx()
10、通过对随机过程的分析，我们知道随机过程的相关函数是从时间角度度描述了过程的重二者是异曲同要统计特性，而随机过程的功率谱密度是从频率角度描述了过程的统计特性,工，研究的都是同一个对象， 于是人们自然提出一个问题，随机过程的相关函数和它的功率谱密度之间是否存在一定关系 ？我们发现，当随机过程平稳且满足一定条件时，它们之间存在，定关系。Rx( )d定理 如果平稳过程 X(t)的相关函数 RX()绝对可积，即是正数，X(t)的功率例题 设X(t)是平稳过程，其相关函数Rx( ) e 11，其中2谱密度Sx()。答案：Sx( )24.5.3功率谱密度性质1 2由随机过程的功率谱密度定义，即Sx( ) T
11、im 2tE |Gx( ,T)可得如下几个常用的性质：性质1Sx( ) 0;性质2 Sx()是实函数；性质3 对于实过程，Sx()是偶函数；4.5.4互谱密度1. 互谱密度的定义类似于一个随机过程功率谱密度的研究方法，我们可以引入两个随机过程的互谱密度概念。设有两个联合平稳随机过X(t)和Y(t),若设他们相应的截取函数设为XT(t)和YT(t),而XT(t),Yr(t)的付氏变换分别为的付氏变换分别为Gx( ,T),Gy( ,T)。1Sxy( ) Tim 齐 E Gx( ,T)Gy( ,T)定义X(t)和Y(t)的互谱密度 为：1Syx( ) limE Gy( ,T)Gx( ,T)t 2T2
12、. 互谱密度和互相关函数之间的关系类似研究平稳过程X(t)的自相关函数与谱密度之间的关系一样，我们可给出联合平稳过程互相关函数与互谱密度函数之间的关系表达式。若联合平稳过程 X(t)、Y(t)的两个互相关函数满足Rxy( ) d,那么Sxy ()Rxy()e d ,Syx ()Ryx ( ) e d3. 互谱密度的性质下面我们简要给出互谱密度的性质如下： Sxy () Syx (); 若X(t)与Y(t)为实过程，则：Sxy()的实部是偶函数，虚部是奇函数； 若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交U ：Syx ( ) Syx( )0 ; 若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有非零均值
13、M x ,My，则Sxy( )Syx( )2 MxMy ()|Sxy( ) Sx( ) Sy()1.已知平稳过程x(t)的谱密度为Sx (),求x(t)的均方值EX2(t)。22.已知平稳过程x(t)的自相关函数为Rx( ) 4e 11 cosCOS求 Sx()。单边功率谱一一实平稳过程的谱密度sx (到正频率范围内。Gx()12lim E T T0 ,Tit20 X(t)eitdtGx()2sx(),00 ,0)是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算4.6窄带过程和白噪声过程1、窄带过程窄带随机过程 谱密度限制在很窄的一段频率范围内。谱密度:Sx ()0,其它相关函数:Rx()sx ()COS()d0少吧31Jf*2-八/ /n22 rsin2、白噪声过程
