《导数-----单调性的分类讨论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数-----单调性的分类讨论（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数单调性的分类讨论方法总结函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础， 所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。 那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。这类问题的难 点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参 函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）: 第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4 种情况（1）偶次根式，根号下整体大
2、于0（2）分式，分母不等于0（3）对数函数，真数大于0( 4) tan() ，(兀,1）整体不等于丰-+ k兀2第二步：求函数导数令f （X），- 0，解出它的根Xi, X2注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负第三步：如果两根，要考虑4 种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根 也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性 从而得到最值。（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围（2）x二x，得到参数取值范围12（3）x x，得到参数取值范围12（4）x 0 时，x g (0, a), f (
3、x) 0, f (x)单调增，x g (a,+s), f (x) 0 ；第四步数轴穿根或图像判断正负)12(2) 当 a 0, f (x)单调增，x g (- 2，+s),f (x) 0, f (x)单调减(第三步，x存在，x不存在得到a 0第四步数轴穿根或图像判断正负) 21(3) 当 a 二 0 时，x g (0,+s), f (x) = -2x 0, f (x)单调减(第三步，x二x得到a二0第四步很显然-2x 0时x g (0, a), f (x)单调增，x g (a,+s),f(x)单调减；当a 0x G (0,-2),f (x)时，单调增，x g (-|,+S),f (x)单调减；
4、当a 二 0 时，x g (0,+Q,f (x) 单调减(第五步综述一定要有)小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。讨论一根不存在的时候，又分了两种情况， x 不存在或者 x 不存在。因为本题一根存 21在，另一根就必然不存在，故不存在比较两根大小的情况。因式分解后我们发现最高次为负， 数轴穿根的时候我们从下往上穿，也可以用图像法判断导数正负。例 2：已知f (x) = (ax2 -x)lnx-2ax2 + x,求 f (x)单调区间2解：该函数定义域为(0, + s)令 f (x) = (2ax 一 l)ln x ,第一步：对数真数大于0 求定义域)解
5、得x =丄,x =1l 2 a 2(第二步，令导数等于0解出两根x ,x12(1)当 a 0, f (x)单调增，x G (1,+S), f (x) 0, f (x)单调减(第三步，x不存在得到a 0, f (x)单调增，1(第三步，x二x得到a = 第四步图像判断正负)1 2 2 11(3) 当0-2a2x G (0丄),x G (1,+S)f (x) 0, f (x)单调增，x G 丄,1,f (x) 0, f (x)单调减 2a2a1(第三步，x ;第四步图像判断正负)1 2 211(4) 当丁 1 时，即 0 a 0, f (x)单调增，x G 1,丄,f (x) x得到0 a ；第四
6、步图像判断正负)1 2 2综上可知：a 0, f (x)单调增，x G (l,+s), f (x) 0, f (x)单调增2a 1 x G (0,丄),x G (1,+s)f (x) 0, f (x)单调增，x G 丄,1, f (x) 0, f (x)单调减22 a2 a0 a 0, f (x)单调增，x G 1, f (x) 0, f (x)22 a2 a单调减小结：这是一道稍微复杂的分类讨论单调性，按照我们的步奏，每一步都清晰明朗，这道题4种情况全部都讨论到。讨论一根不存在的时候，只要丄 0就不在定义域内了。2a特别注意判断正负时我们用图像法，画出(2ax-1) Inx的图像，判断它们乘
7、积的正负就 很简单了。例3(2016，北京理)已知f (x)二xe2-x + ex ，求f (x)单调区间解：f (x)= e2-x - xe 2-x+ e (明显一阶导不能解出根或者判断出正负，必须要求二阶导)令f (x)”= (x 2)e2-x二0，得到x=2(令二阶导为0解出二阶导的根x G(4,2)f (x) 0, f (x)单调增(判断一阶导单调性)所以f (x)二f (2)二e 1 0 (求出一阶导的最值min所以f (x)在R上单调增小结：这道题我们求了一阶导后发现解不了这个方程，那么我们就应该转换思路求它的二 阶导数，通过二阶导的正负得到一阶导的单调性，从而得到一阶导的最小值，
8、进而得到一 阶导的正负，判断出原函数的单调性。这属于第三步中求不出来根也判断不了正负的情况。例4已知函数f (x) = ax xlna，其中a 0且a 1。讨论f (x)的单调性；解：令 f (x) = ax ln a ln a = ln a (ax 1) = 0 ,解得 x 二 0(1) 当0va 1 时，lna 0, f (x)单调增，x G(4,0, f (x) 1 时,lna 0x G (0,+S), f (x) 0, f (x)单调增，x G(4,0, f (x) 0, f (x)单调增，x G 3,0, f (x) 0, f (x)单调减小结：这道题导数等于 0 只有一个根，所以只
9、需要讨论根的两侧导数正负。判断正负的时 候，我们发现含有参数a,a的不同取值范围导致各因式正负不一样，所以需要讨论。这跟我 们总结的步骤有些不一样，当作特例记住。巩固练习】x1. （2010北京）已知函数f（x）=ln（l+x ）-x + 2x2 （k三0）.求f（x）的单调区间.C Oil2.设函数f （x） = （2-a）ln x + -aX-（a 1).讨论f (x)的单调性;6. (2017,全国1)已知函数f (x) = ae2x +(a-2)ex 一x .讨论f (x)的单调性;7. (2017，全国3改编)已知f (x) = x -1 - a In x ,讨论f (x)的单调性8. (2014，四川改编)已知函数f (x) =ex-ax2-bx- 1,其中 a, bGR, e=2.71828.为自然 对数的底数.设g (x)是函数f (x)的导函数，求函数g (x)在区间0,1上的单调性；
