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1、第二章复习与思考题1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：若n次多项式l .(x)(j二0丄,n)在n +1个节点x x x上满足条件j01nj, k = 0,1,n,则称这n +1个n次多项式l (x)l (x)，,l (x)为节点x ,x，,x上的n次拉格朗日插值01n01 n基函数.以l G)为例，由l G)所满足的条件以及l G)为n次多项式，可设kkkl (x)= A(xk0-x )(xk-ixk+1其中A为常数，利用lk)=1得1 = A(x - x )k0-x)(x-x )k-1kk+1x)n- x )k01/ 、 - x )(x - x Jkk -1k
2、k +1kn()C - x l (x) 一 (k x - x k0(x - x )(x - x )(k 1 )(kr+1Vx 一 x )(x 一 xkk-1kk+1(x - x )knn x- x=n jx - xj=o k jj十k对于 l (x)(i 一 0,1,n)i有工 xk l (x) 一 xkiii=0k 一 0,1,n，特别当k 一0时，有工 l (x)= 1.il有何不同？i=02什么是牛顿基函数？它与单项式基1, x,xnn-1答：称 , x - x , (x - x )(x - x ),(x - x ) (x - x )为节点 x , x，,x 上的牛顿0010n-10 1
3、n基函数，利用牛顿基函数，节点x ,x，,x上的n次牛顿插值多项式p G)可以表示为01nnP (x)= a + a (x-x )+ a (x-x ) (x-x )n010n0n-1其中a 一 f Ex , x ,x k 一 0,1,n 与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在 k01k增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如P (x)= P (x)+ a(x-x ) (x-x ),k +1kk +10k其中a 是节点x , x ,x 上的k +1阶差商，这一点要比使用单项式基* x,x”方便 k +10 1k +1得多.3什么是函数的n阶均差？它有何重要性质？-k-x 一 x
4、k0=f 0,x-f 0,xJ为f (x)的二阶均差.一般地，称x 一 xk1=f Wj J- f W I】为f C)的n阶均差.x 一 xnn-1答：称f L , x = fW f)为函数f(JC)关于点x , x的一阶均差，f L , x , x01k均差具有如下基本性质：(1) n阶均差可以表示为函数值f (x ),f (x ),f (x )的线性组合，即01nf(x)-x)(x- x )( - x )(x- x)0 kx - x0 kj =0j 0 jj -1jj+1j n该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性(2) f L , x,x = f S x2,xn- f W
5、x1,xn1 01 nx 一 xn0若/G)在a,b上存在n阶导数，且节点x0,xi，xn蟲,b，则n阶均差与n阶 导数的关系为flx,x,x =啤，b.0 1 nn!4写出n +1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？ 答：给定区间b上n +1个点a x x x b01n上的函数值y = f (x )(i = 0,1,n)，则这n +1个节点上的拉格朗日插值多项式为iL (x)= F y l (x) ,nk k、x - xix - xjk=0其中 l (x)=kj=0 kj *k这n +1个节点上的牛顿插值多项式为P (x)= an010)b an0x ),n-1其中a
6、kk - 0,1,，n为 f (x )在点x , x , x01k上的 k 阶均差.由插值多项式的唯一性，L (x)与P )是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同, nn牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点.5. 插值多项式的确定相当于求解线性方程组Ax- y,其中系数矩阵A与使用的基函数有关.y包含的是要满足的函数值(y ,y，,y )t.用下列基底作多项式插值时，试描述矩01 n阵A中非零元素的分布.(1) 单项式基底；(2) 拉格朗日基底；(3) 牛顿基底.答： 若使用单项式基底，则设P (x)- a
7、+ ax + axn，其中a , a，,a为n01n01n待定系数，利用插值条件，有a + a x bb axn - y01 0n 00a + a x bb axn - y 01 1n 11，a + a x bb axn - y01 nn nn因此，求解Ax - y的系数矩阵A为A-1x x n001x x n111x x nnn为德蒙德矩阵.(2) 若使用拉格朗日基底拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有则设L (x)= a l (x)+ a l (x)bba l (x)，其中l (x)为n0 011n nka l (x )+ a l (x )+ b a l (x)-y 00/0、 11/0、
8、nn,0、0a l vx 丿+ a l vx )bb a l vx 丿=y0 0 111 1n n 11 ，a l 6 )+ a l 6 )+ b a l (x)-y0 0 n11 nnnnn由拉格朗日插值基函数性质，求解Ax - y的系数矩阵A为为单位矩阵.(3) 若使用牛顿基底，则设 P (x)= a + a (x一x )+ a (x一x ) (x一x )，由n010n0n-1插值条件，有a + a (x-x )+ a(x-x) (x-x)= y01 / 00、n ( 00、/ 0n-1、0a + a (x- x 丿+ a(x- x丿(x- x)= y0110n 101n-11a + a
9、(x - x )+ a (x -x ) (x -x )= y01 n 0n n 0n n-1na0 = y0a + a (x - x )= y 0 110 1-x丿山-x )= yn n 0 nn -1na + a (x -x )+ a (x -x01 n 0故求解Ax = y的系数矩阵A为1x-x101x-x.201x-xn01A =(x - x )(x - x )2 0 2 1(x - x )G -x)(x - x )G -x)(x - x )n 0 n 1 n 0 n 1 nn -1为下三角矩阵.6. 用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低 到高给出排
10、序.答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉 格朗日基底，牛顿基底，单项式基底.7. 给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？答：设 f (n)(x)在 L,b上连续，f(n+1)(x)在(a,b)存在，节点 a x x x b ,01nL (x)是满足条件L C )= y , j = 0丄,n的插值多项式，则对任何x e la,b,插值余项 nn jjn+1R (x)= f (x)- L (x)= f 讪冷(x), nn n +1!这里ge(a, b)且与x有关，w (x) = (x - x )(x - x ) (x - x ).n +101n若
11、有maxa xbf(n+i)(xj = M ，则L (x)逼近f (x)的截断误差n+1nRn(X 1知n+1(X)-8. 埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的 插值多项式？答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插 值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等.称P (x)= f (x )+)(x-x )+ +(x-x )n000n!0为f (x)在点X0的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为P()(x )= f (k)(x ) k = 0,1,n，n 00泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，
12、是只在一点x处给出n +1个插值条件得到的n次0 埃尔米特插值多项式.9. 为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有 何优点？答：对于任意的插值结点，当n T8时，L G)不一定收敛于f(x)，如对龙格函数做n 高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满 意.分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在 整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象.10. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由.答：三次样条插值要求插值函数S(x)g
13、C2la,b,且在每个小区间L ,x 上是三次多j j +1 项式，插值条件为S (x )= y , j 二 0,1,n .jj三次分段埃尔米特插值多项式1 (x)是插值区间b上的分段三次多项式，且满足hI (x)e C1 ta,b,插值条件为hI (x )= f (x )，Ir (x )= f r(x ),(k = 0,1,n).h kkh kk分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点 处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的 函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样 条插值更优越一些.11. 确定n +1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什 么条件？答：由于三次样条函数SG)在每个小区间上是三次多项式，所以在每个小区间L ,x j j+i上要确定4个待定参数，n +1个节点共有n个小区间，故应确定4n个参数，而根据插值条 件，只有4n-2个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间b的端点a二x , b = x0n 上各
