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1、勾股定理全章知识点归纳总结一基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即：a2+b2=c2)要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边(在AABC中，ZC=90。，则c=a2+b2，贝仏ABC是以zC为钝角的钝角三角形；若C22,n为正整数)；2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1（n为正整数）m2-n2,2mn,m2+n2（mn,m，n为正整数）二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例1在AABC中，ZC=90。.已知AC=6，BC=8.求AB的长全国中考信息资源门户网站中
2、考网hongkao全国中考信息资源门户网站已知AB=17,AC=15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2+b2=c2解：AB=7AC2+BC2=10(2)BC=；AB2AC2=8题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理!根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.例题2如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦
3、苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.期2解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题意可知ACD中，ZACD=90，在RtAACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：全国中考信息资源门户网站中考网全国中考信息资源门户网站解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5X2+I.52二(x+0.5)2解之得x=2.故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用一一例题3如图3,正方形ABCD中，E是BC边上的中点,
4、F是AB上一点，且FB=AB4那么ADEF是直角三角形吗？为什么？解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB=；AB可以设AB=4a，那4么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在RtAAFD、RtABEF和RtACDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在RtACDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2同理EF2=5a2,DF2=
5、25a2在ADEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2DEF是直角三角形，且ZDEF=90.注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。全国中考信息资源门户网站Ihongkao全国中考信息资源门户网站全国中考信息资源门户网站题型四：利用勾股定理求线段长度一一例题4如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm，在边CD上取一点E,将AADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下：图4解：根据题意得RtAADE竺R弋AEFAZAFE=90,AF=10cm,EF=DE设CE=xcm,
6、则DE=EF=CDCE=8x在RtAABF中由勾股定理得：AB2+BF2二AF2,艮卩82+BF2=102,BF=6cmCF=BCBF=106=4(cm)在RtAECF中由勾股定理可得:EF2二CE2+CF2，即(8x)2=x2+426416x+x2=2+16x=3(cm),即CE=3cm注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？翩解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺
7、来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4,矩形ABCD表示桌面形状,在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm（想想为什么要设为这两个长度？），连结MN,测量MN的长度。如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；如果MN=aH15，则92+122=81+144=225,azH225，即92+I22Ha2，所以ZA不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先
8、距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BCMN,BC丄AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米，所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型六：旋转问题:例1、如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP7重合，若AP=3，求PP，的长。变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=2爲,PC=4,求AABC的边长.分析：利用旋转变换，将厶BPA绕点B逆时针选择60,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系，由
9、勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图，AABC为等腰直角三角形，ZBAC=90,E、试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是厶ABC的中直线AD翻折，点C落在点C的线，ZADC=45，把ADC沿位置，BC=4,求BC的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学,AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会
10、受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少?题型九：关于最短性问题图1-19例5、如右图119，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14,结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟?
