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1、第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列命题中,既是真命题又是特称命题的是()A.有一个,使tan(90-)=1tanB.存在实数x,使sin x=2C.对一切,sin(180-)=sin D.sin 15=sin 60cos 45-cos 60sin 45解析:B中命题为假命题;C中命题为全称命题,D中命题不是特称命题,故选A.答案:A2若a,b0,则“xa+b2”是“xab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由于a,b0,所
2、以a+b2ab,因此由xa+b2一定能推出xab,但由xab不一定能推出xa+b2,故“xa+b2”是“xab”的充分不必要条件.答案:A3下列命题中,真命题的个数为()命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题;设,-2,2,则“”是“tan tan ”的充要条件;命题“自然数是整数”是真命题;命题“xR,x2+x+10”的否定是:“x0R,x02+x0+10.”A.1B.2C.3D.4解析:命题“若x=y,则sin x=sin y”为真命题,其逆否命题为真命题;x-2,2时,正切函数y=tan x是增函数,当,-2,2时,tan tan ,“”是“tan tan ”的充要
3、条件,即是真命题;命题“自然数是整数”是全称命题,省略了“所有的”,为真命题,故是真命题;命题“xR,x2+x+10D.xR,2x0解析:因为log21=0,cos 0=1,所以选项A,B均为真命题,02=0,选项C为假命题,2x0,选项D为真命题.故选C.答案:C6对下列命题的否定说法错误的是()A.p:能被3整除的整数是奇数; p:存在一个能被3整除的整数不是奇数B.p:每一个四边形的四个顶点共圆; p:存在一个四边形的四个顶点不共圆C.p:存在三角形为正三角形; p:所有的三角形都不是正三角形D.p:x0R,x02+2x0+20; p:当x2+2x+20时,xR解析:D中p:对xR,x2
4、+2x+20,故D不正确.答案:D7已知集合A=x|x1,则下列命题中为真命题的是()A.x0A,x0BB.xB,xAC.xA,x2BD.x0B,-x02A解析:本题考查全称量词与存在性量词的概念及其应用.由于AB,所以A,B,D均错误,C项正确.答案:C8设a,b为向量,则“|ab|=|a|b|”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:若a与b中有一个为零向量,则“|ab|=|a|b|”是“ab”的充分必要条件;若a与b都不为零向量,设a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos ,由|ab|=|a|b|得|cos |=1,则两向量的夹角
5、为0或,故ab.若ab,则a与b同向或反向.故两向量的夹角为0或,则|cos |=1,因此,|ab|=|a|b|.故“|ab|=|a|b|”是“ab”的充分必要条件.答案:C9设集合U=(x,y)|xR,yR,A=(x,y)|2x-y+m0,B=(x,y)|x+y-n0,则点P(2,3)A(UB)的充要条件是()A.m-1,n5B.m-1,n-1,n5D.m5解析:(2,3)A(UB),则22-3+m0,2+3-n0,解得m-1,n3”的否定是.答案:存在xR,|x-2|+|x-4|312若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,那么r是p的条件.解析:本题考查充分必要条件的判断与应用
6、.由已知得pqr,但由r不一定能推得p,故r是p的必要不充分条件.答案:必要不充分13已知p(x):x2+2x-m0,如果p(1)是假命题,p(2)是真命题,那么实数m的取值范围是.解析:p(x):x2+2x-m0,且p(1)是假命题,1+2-m0,即m3.p(2)是真命题,4+4-m0,即m8.综上可知3m0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.解析:q:axa+1,且p是q的充分不必要条件,pq,且qp,结合图形可得a12,a+11,且等号不同时成立,解得0a12.答案:0,1215下列三个命题:若函数f(x)=sin(2x+)的图象关于y轴对称,则=2;若函数f(x)=ax-
7、2x-1的图象关于点(1,1)对称,则a=1;函数f(x)=|x|+|x-2|的图象关于直线x=1对称.其中真命题的序号是.解析:对,若函数f(x)图象关于y轴对称,应有20+=k+2(kZ),=k+2(kZ),故为假命题.对,f(x)=a(x-1)+a-2x-1=a+a-2x-1,f(x)的图象关于(1,a)对称.由f(x)的图象关于点(1,1)对称,知a=1,故为真命题.对,画f(x)的图象(略),从图象上可看出关于直线x=1对称,故为真命题.答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的
8、逆命题、否命题与逆否命题,同时判断四种命题的真假:(1)全等三角形的对应边相等;(2)当x=2时,x2-3x+2=0.解:(1)原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等,真命题;逆命题:若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等,真命题;否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形对应的三边不全相等,真命题;逆否命题:若两个三角形对应的三边不全相等,则这两个三角形不全等,真命题.(2)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0,真命题;逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2,假命题;否命题:若x2,则x2-3x+20,假命题;逆否命题:若x2-3x+20,则x2,真命题.17(8分)已
9、知p:x|x2-8x-200,q:x|x2-2x-(m2-1)0,m0,若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解:令A=x|x2-8x-200,则A=x|(x-10)(x+2)0=x|-2x10=-2,10.令B=x|x2-2x-(m2-1)0,m0,则B=x|x-(1-m)x-(1+m)0,m0=1-m,1+m.p是q的必要不充分条件,BA.1+m10,1-m-2或1+m10,1-m-2.m0有解.若pq是假命题,p也是假命题,求实数a的取值范围.解:pq是假命题,p是假命题,命题p是真命题,命题q是假命题.x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,x1+x2=m,x1x2=-2
10、,|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=m2+8,当m-1,1时,|x1-x2|max=3.由不等式a2-5a-3|x1-x2|对任意实数m-1,1恒成立,可得a2-5a-33,解得a6或a-1,则当命题p为真命题时,a6或a-1.命题q:不等式ax2+2x-10有解.当a0时,显然有解;当a=0时,2x-10有解;当a0,=4+4a0,-1a0有解时,a-1.命题q是假命题,a-1.a6或a-1,a-1,a的取值范围是a|a-1.20(10分)已知二次函数f(x)=ax2+x,若x0,1,|f(x)|1恒成立,试求实数a的取值范围.解:由f(x)=ax2+x是二次函数,得a0.又|f(x)|1-1f(x)1-1ax2+x1,x0,1.当x=0时,式显然成立;当x(0,1时,式化为-1x2-1xa1x2-1x在x(0,1上恒成立.设t=1x,则t1,+),则有-t2-tat2-t.令f(t)=-t2-t=-t+122+14,t1,+),则f(t)max=-2,令g(t)=t2-t=t-122-14,t1,+),则g(t)min=0,由a0,知只须-2a0.综上所述,所求实数a的取值范围是-2,0).
