《切线长定理弦切角定理切割线定理 相交弦定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《切线长定理弦切角定理切割线定理 相交弦定理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切 线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得 到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的
2、角。3. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切00于P, PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段定理 图形相交弦定理相交弦定 理的推论 切割线定 理 切割线定 理推论已知结论00 中，AB、CD 为弦，交 PA PB = PC PD. 于P.00 中，AB 为直径，CD丄AB PC2 = PA PB. 于P.00中，PT切00于T, 割线PB交00于APB、
3、PD为00的两条割线，PAPB = PCPD 交00于A、C（特殊情况）PT2 = PA 圆幂定理00中，割线PB交00于PCPD = r2 A, CD 为弦0P 2PAPB = 0P2 r2 r为00的半径证法 连结AC、BD ,证： APCsDPB.用相交弦定理.连结TA、TB ,证： PTBspAT延长P0交00于M,延 长0P交00于N,用相交 弦定理证；过P作切线用 切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向00作任一直线，交00于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积 为常数| p2 - R 圆幕定理。【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内
4、作半圆0,过A作半圆切线，切 点为F,交CD于E,求DE： AE的值。| （R为圆半径），因为叫做点对于00的幕，所以将上述定理统称为X,图1 解：由切线长定理知：AF=AB=1，EF=CE 设CE为x,在RtAADE中，由勾股定理例2. 00中的两条弦AB与CD相交于E,若AE = 6cm, BE = 2cm, CD = 7cm,那么CE=cm。图2解：由相交弦定理，得AE BE = CE DE*.*AE = 6cm, BE = 2cm, CD = 7cm,DE=CD-CE = J-CE ,即加7 + 12“ CE = 3cm 或 CE = 4cm。故应填3或4。 点拨：相交弦定理是较重要定
5、理，结果要注意两种情况的取舍。A小 pc例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 ：。解: VZP=ZPZPAC=ZB,.PACsPBA,AB _ PB孟西 ,AB2 _ PB2又VPA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得AB2 _ P卅 _ PB AC2 PB * PC PC ,Hn AB AC2 = PB. PC即，故应填PC。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4.如图3 , P是00外一点，PC切00于点C , PAB是00的割线，交00于A、B两点，如果PA：cm。PB=1： 4 , PC=12cm , 00的半径为10cm ,则圆心0到AB的距
6、离是图3解：VPC是00的切线，PAB是00的割线，且PA： PB=1： 4 PB=4PA又 VPC = 12cmPC3 _ PXI * P耳 由切割线定理，得.12a =PA * 4PA尸才二36 , PA = E(亡痰) PB = 4X6=24 (cm).*.AB = 246= 18 (cm)设圆心0到AB距离为d cm ,由勾股定理，得故应填肮。例5.如图4 , AB为00的直径,过B点作00的切线BC , 0C交00于点E , AE的延长线交BC于点厂W = 广厂I *广1百D, （1）求证：；（2）若AB=BC = 2厘米，求CE、CD的长。图4，即要证CEDsCBE。点悟：要证证明
7、：（1）连结BE 胆是D讯线r 血为直径 = ABD = 90AB = 2 OB = BC = 2u ou二口库门=逛, OE = （2）o又.話=CT* CB,.（$ _叶 “CD CD = （3-）厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。 例6.如图5, AB为00的直径，弦CDAB, AE切00于A，交CD的延长线于E。图5+ 汁 BC2 = AB*DS求证：证明：连结BD，.AE 切00 于 A, .ZEAD=ZABD.AE 丄AB,又 ABCD,.AE丄CD.AB为00的直径.ZADB = 90?.ZE=ZADB = 90.ADEs&ADAD _
8、DE .AD2 = AB* DE.CDAB.AD=BC.EC2 = AB* DS例7.如图6, PA、PC切00于A、C, PDB为割线。求证：AD BC = CDAB图6_ CL点悟：由结论ADBC = CDAB得药 云，显然要证PADspba和厶PCDPBC 证明：.PA切00于A,.ZPAD=ZPBA又 ZAPD=ZBPA,.PADs&ba土 _ .i 同理可证PCDspbcf 二 _ 4 PA、PC 分别切00 于 A、C.PA=PC.4： _ 匸： .AD BC=DC AB例8.如图7,在直角三角形ABC中，ZA=90。，以AB边为直径作00,交斜边BC于点D,过D点 作00的切线交
9、AC于E。图7求证：BC=20E。点悟：由要证结论易想到应证0E是厶ABC的中位线。而0A=0B，只须证AE=CE。证明：连结0D。 AC丄AB, AB为直径 AC为00的切线，又DE切00于D EA=ED,0D 丄DEV0B=0D，.ZB=Z0DB在 RtAABC 中，ZC = 90ZBVZ0DE = 90.乙EDC 二勺丫 - ZODB ZC=ZEDC ED=EC AE=EC 0E是厶ABC的中位线 BC = 20En例9如图8,在正方形ABCD中，AB = 1,川口是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E 是边AD 上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作川U所在圆的切线，交边
10、DC于点F, G 为切点。当ZDEF=45。时，求证点G为线段EF的中点；图8解：由ZDEF=45，得 ZDFE=ZDEF DE=DF又 VAD=DC AE=FC因为AB是圆B的半径，AD丄AB,所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。 又因为EF切圆B于点G,所以AE=EG, FC=FG。因此EG=FG，即点G为线段EF的中点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1. 已知：PA、PB切00于点A、B,连结AB,若AB = 8，弦AB的弦心距3,则PA=（）2025A.B. 3C. 5D. 82. 下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3. 已知：如
11、图1直线MN与00相切于C, AB为直径，ZCAB = 40，则ZMCA的度数（ 图155)D. 16cmA. 50B. 40C. 60D.4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1： 4,则另一弦长为（A. 8 cmB. 10cmC. 12cm5. 在 ABC中，D是BC边上的点，唧，BD = 3cm, DC = 4cm，如果E是AD的延长线与 ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）AcmbCcmd 玉尽牌=2, AD = 3,6. PT切00于T, CT为直径，D为0C上一点，直线PD交00于B和A, B在线段PD 上，若CD BD = 4,则PB等于（A. 20
12、、填空题 7. AB、CDB.10C. 5是00切线，ABCD,度。&已知：00和不在00上的一点P,过P的直线交00于A、B两点，若PAPB=24, 0P = 5, 则00的半径长为。EF是00的切线，它和AB、CD分别交于E、F,则ZE0F=12.如图3,ZDCPo13.如图4,BM=MN=NC,9. 若PA为00的切线，A为切点，PBC割线交00于B、C,若BC = 20,刊，则PC的长为。10. 正厶ABC内接于00, M、N分别为AB、AC中点，延长MN交00于点D,连结BD交AC于P,PC _则啓 。三、解答题11. 如图2,ABC中，AC = 2cm，周长为8cm, F、K、N是
13、厶ABC与内切圆的切点，DE切00于点 M,且DEAC，求DE的长。图2已知P为00的直径AB延长线上一点，PC切00于C,CD丄AB于D,求证：CB平分图3已知AD为00的直径，AB是00的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C,且 若AB=唧，求00的半径。【试题答案】一、选择题1. A 2. C二、填空题3. A4. B5. B6. A9. 3010.7. 90三、解答题11. 由切线长定理得厶BDE周长为4,由厶BDEsBAC，得DE=1cm12. 证明：连结AC,则AC丄CB.CD 丄AB,AACBsACDB,ZA=Z1PC为00的切线，ZA=Z2,又Z1 = Z2, ABC 平分ZDCP13. 设 BM=MN=NC=xcm加二妣BA = 242cm.BC=2X.3 = 6(c 又VOA是过切点A的半径，0A丄AB即AC丄AB由割线定理严心二切伽，又.込讣肋.(CA-AD) * CA=CN- CM半径为
