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1、第二十二章 曲面积分1 第一型曲面积分1计算下列第一型曲面积分：(1)蝌 (x + y + z)dS , 其中 S 是上半球面 x2 + y2 + z2 = a2, z 0;解 z = a2- x2- y2,zLx #a2 - x2 - y2,zy所以dS =； a2 - x2 - y2dxdy , 蝌 zds = a 蝌 dxdy = pa3, 则x2 + y2 a2蝌 ( x + y + z )dS = p a 3 .蝌(x 2 + y 2)dS ,其中S为立体Jx 2 + y 2井z1的边界曲面；蝌 (x2 + y2 )dS = 蝌 (x2 + y2 )dS + 蝌 (x2 + y2 )
2、dS = 蝌 (x2 + y2 )dxdy + 蝌 (x2 + y2 )dxdy = V2s1s2x2 + y2 = zx2 + y2 1(3)蝌上,其中S为柱面x2 + y 2 = R 2被平面z = 0, z = H所截取的部分;蝌=丄蝌dS =丄2pRH =沁R2R2R(4)ss蝌 xyzdS ,其中为平面在第一卦限中的部分蝌 xyzdS = 蝌 xdx0i- x3y (1- x - y )7y + idy =0 61 x (1- x )3 dS =五0 1202求均匀曲面 x2 + y2 + z2 = a2, x 吵0, y 0, z 0 的重心。设重心坐标为x = y = z,由对称
3、性：(x, y, z),蝌 zdS 蝌 zdS，,其中S为所求曲面的面积, Sz = L蝌dSS = pa3.而2dS = 、1 + z 诚 + z 2 dxdy = ,dxdy .x yJa2 - x2 - y2则蝌zdS =蝌adxdy = p a3 （ D为S在xOy面的投影）。4z = a,所以，重心坐标为（aaa）2 2 2 20）对于z轴的转动惯量。3求密度为r的均匀球面x 2+ y 2+ z 2= a 2（ z解因 z = a2 - x2 - y2, dS = dxdy ,则2= 蝌 r(x2 + y2)dS = ra 蝌2x2 + y2dxdy2ar 蝌 dq0r3x2 + y
4、2=drr3A p4= 2p a4r O 2 sin 3 tdt = pa4r.034计算蝌z2dS ,其中S为圆锥表面的一部分:si x = r cos j sin q, S : i y = r sin j sin q,这里q为常数（0 # q!)解：E=sin 2 q (cos 2 j + sin 2 j ) + cos 2 q =F=G=x 2 + y 2 + z 2 = rrrx x + y y+ z z = - rsin jcos jsin 2 q+rsin jr j r jr jx 2 + y 2 +z 2 = r2 sin 2j sin2 q+r2 cos 2jsin 2 q+
5、0= r2 sin 2 qjjjcos j sin 2 q + 0 =蝌 z2 dS = r2 cos 2 qJr2 sin 2 q - 0 drd j = r3 sin q cos 2 qdrd jD= sin q cos 2 q 蝌蝌dj0Da1p a4r3 dr = 2p sin q cos 2 q ? a3cos 2 q sin q.0422 第二型曲面积分1计算下列第二曲面积分：（1）蝌 y（x - z ） dydz + x 2 dzdx+ (y2 + xz )dxdy ,其中 S 为由x = y = z = 0, x = y = z =a 六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向；解
6、：蝌 y(x- z)dydz= 蝌 dyy(a-z ) +蝌 dyyzdz =(a2 y -)dy +s0000 0 2x2dzdx = 蝌 dz0x 2 dx -0蝌 dz00x 2 dx= 0,(y2 + xz ) dxdy =蝌dx a(y2 + ax)dy -蝌 dxaa4y2 dy =.00002a蝌 y(x -dya 4a 4z)dydz + x2dzdx + (y2 + xz )dxdy = + = a4.22s(2)蝌(x + y)dydz + (y + z)dzdx + (z + x)dxdy ,其中S是以原点为中心，边长为2 的立方体表面并取外侧为正向；蝌 ( x + y
7、) dydz = 蝌1 dy (1+ y )dx - 蝌1dy (- 1 + y )dz = 2 蝌1 (1+ y )dy - 2- 1 - 1 - 1 - 1 - 1s故蝌 (x+ y)dydz + (y + z)dzdx + (z+ x)dxdy = 3? 824.1 (- 1 +y )dy = 8,s蝌 xydydz + yzdzdx + xzdxdy ,其中 S 是由平面 x = y = z = 0 和 x + y + z = 1 所围的四面体表面并取外侧为正向；解：蝌 xydydz =x (1- x - y) dxdy = dx(x- x2 - xy)dy =0Dxy1x(1-01x
8、)2 - x (1-21x )2dx =24.1xydydz + yzdzdx + xzdxdy =3?24(4) 蝌 yzdzdx ,其中 S 是球面 x2 + y2 + z2 = 1的上半部分并取外侧为正向；sx = cos q sin j , y = sin q sin j , z = cos j ,其中 0 # j ,0 # q2p .22” sin 2 q 鬃tn 2 j0故蝌 yzdzdx = 蝌2 dj0sR2(5)蝌 x2dydz + y2dzdx + z2dxdy , 其中 S 是球面 (x- a)2 + (y - b)2 + (z - c)2并取外侧为正向。解 z - c
9、= ? R2(x - a)2 - (y - b)2,曲面S在xOy面的投影区域Dxy ：(x- a)2 + (y - b)2R2.蝌 z 2 dxdy = 蝌c+JR2-(x -a)2 -(y - b)2 dxdy - 蝌c -Jr 2 -(x - a)2 - (y -b)2dxdyDxyDxyR2 - r2 dr =故蝌s8x2dydz + y2dzdx + z2dxdy = p R3 (a + b + c).32设某流体的流速为v = (k, y,0),求单位时间内从球面x2 + y 2 + z2 = 4的内部流 过球面的流量。解设流量为E，则E = 蝌 kdydz + ydzdx = k
10、(蝌+蝌) dydz + 蝌 ydzdxs球 前球 后s432=0 + p ?23p.333 高斯公式与斯托克斯公式1.应用高斯公式计算下列曲面积分：(1) 蝌 yzdydz + zxdzdx + xydxdy ,其中 S 是单位球面 x2 + y2 + z2 = 1 的外侧；syzdydz + zxdzdx + xydxdy=蝌0 dxdydz = 0.sv(2) !蝌x2dydz + y2dzdx + z2dxdy ,其中S是立方体0 # x, y, z a表面的外侧； 解原式二2 蝌蝌( x + y + z ) dxdydz = 2 dx 蝌 dy(x+ y + z)dz= 2蝌 dxa
11、2(x + y) a + dy = 22(a2x + a3)dx =3a 4 .(x+ y + z ) dxdydz蝌 x2dydz + y2dzdx + z 2 dxdy , 其中 S 是锥面 x2 + y2 = z2 与平面 z = h 所围空s间区域(0 zh)的表面，方向取外侧;解蝌 x2dydz + y 2dzdx + z 2 dxdy = 2蝌sv由柱面坐标变换x = r cos q , y = r sin q , z = z ,其中 0 # q2p ,0 # r h, r # z h.x x2 ydydz + y 2 zdzdx + z 2dxdydydz + y 2dzdx +
12、 z 2dxdy = 2蝌 d q dr(r cos q + r sin q + z )dz0 0 rs2蝌 x(z - y)dx + (x - z)dy + (y - x)dz，其中 L 为以 A(a, 0, 0) B(0, a, 0) C (0, 0, a)为dydz + y3dzdx + z3dxdy ,其中是单位球面的 x2 + y2 + z2 = 1 外侧;(x2 + y2 + z 2 )dxdydz蝌 x 3 dydz + y 3dzdx + z 3dxdy = 蝌s= 3蝌 dj0d q r 4 sin j dyr00v12P -5s=(1 + y2)ydydz +2Dyz解原式
13、=1 蝌dy20=-蝌(1-2011蝌 (1 - x 2 )zdzdx + 蝌 dxdy (1- y2)ydz01y2) ydy +-2D zx+ 蝌斗 dx1 (1 -00(1- x2)dx +0Dxyx2)zdz + 蝌xdx01 x X- 1- x2 dx 01 - x 2dy 0蝌xdydz + ydzdx + zdxdy ,其中S是上半球面z = a2 - x2 - y2的外侧。 s补 z = 0 的圆 S : x2 + y2a21则蝌 xdydz + ydzdx + zdxdy = 蝌-蝌=3蝌 dv - 0= 2pa3.ss + s1s1v2应用高斯公式计算三重积分 蝌 xy + yz + zx dxdydzv其中V是由x吵0, y 0, 0井z 1与x2 + y21所确定的空间区域。243应用托斯克斯公式计算下列曲线积分(1)也(y2 + z2)dx + (x2 + z2)dy + (y2 + z2)dz ,其中 L 为 x + y + z = 1 与二坐标面L的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；(2) 也x2y3dx + dy + zdz ,其中L为y2 + z2 = 1, x = y所父的椭圆的正向L顶点的三角形沿 ABCD 的方向 解：(1)
