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1、垂线专项练习 30 题（有答案）1. 如图，过点 Q 作 QDAB，垂足为 D，过点 P 作 PEAB，垂足为 E，过点 Q 作 QFAC，垂足为 F，连 P、Q 两点，P、Q 两点间的距离是线段的长度，点 Q 到直线 AB 的距离是线段的长度，点 Q 到直线 AC 的距离是线段的长度，点 P 到直线 AB 的距离是线段的长度2. 如图，点 P 是AOB 的边 OB 上的一点过点 P 画 OB 的垂线，交 OA 于点 C；（1） 过点 P 画 OA 的垂线，垂足为 H；（2） 线段 PH 的长度是点 P 到的距离，是点 C 到直线 OB 的距离线段PC、PH、OC 这三条线段大小关系是（用“”
2、号连接）3（1）画出表示点 B 到直线 CD 的距离的线段，结论： （2） A、C 两点之间的距离为线段的长；（3） 画出表示两条平行线 AD、BC 之间的距离的线段，结论：4. 如图，DEBC，AFDE 于 G，DHBC 于 H，且 AG=4cm，DH=4cm，试求点 A 到 BC 的距离5. 如图，过点 A 作 BC 的垂线，并指出那条线的长度是表示点 A 到 BC 的距离？6. 如图，C=90，AB=5，AC=4，BC=3，则点 A 到直线 BC 的距离为，点 B 到直线 AC 的距离为 ，A、B 间的距离为，AC+BCAB，其依据是，ABAC，其依据是 7. 如图所示，村庄 A、村庄
3、B 分别要从河流 L 引水入庄，各需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的路线图8. 如图，要把水渠中的水引到 C 点，在渠岸 AB 的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由9. 如图，王林和李明同学骑自行车同时从各自的家中出发去学校如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达学校？ 为什么？10. 如图，是一条河，C 是河边 AB 外一点：（1） 过点 C 要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图（2） 现欲用水管从河边 AB，将水引到 C 处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）11. 如图所示，火车站、码头分别位于 A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示铁路与
4、河流（1） 从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2） 从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3） 从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由12. 如图，计划在河边建一水厂，可过 C 点引 CDAB 于 D，在 D 点建水厂，可使水厂到村庄 C 的路程最短，这种设计的依据是13. 如图，点 P 处有一个工厂，现拟修一条通往大路口 a 的公路，应如何修才能使所修之路最短，试说明理由14. 如图，直线 AD 和 BE 相交于点 O，COD=90，COE=60，求AOB 的度数15. 如图，OF 平分AOC，OEOF，AB 与 CD 相交于 O，BOD=130，求EOB 的度数16. 如图
5、所示，已知AOB=COD=90，（1） 若BOC=45，求AOC 与BOD 的度数；（2） 若BOC=25，求AOC 与BOD 的度数；（3） 由（1）、（2）你能得出什么结论？说说其中的道理17. 如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AOBC，OE 平分BON，若EON=20，求AOM 的度数18. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OP 是AOD 的平分线，OFCD，如果BOD=30 求：（1）AOF 的度数；（2）POF 的度数19. 如图所示，OA 丄 OB，OC 丄 OD，OE 为BOD 的平分线，BOE=15，求BOD 和AOC 的度数20. 已知：如图，直线 AB、
6、CD、EF 相交于点 0，1=20，BOC=90求2 的度数21. 说出日常生活现象中的数学原理：日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼，你笔直向他走过去两点之间直线段最短要用两个钉子把毛巾架安装在墙上桥建造的方向通常是垂直于河两岸人去河边打水总是垂直于河边方向走22. 如图所示，修一条路将 A，B 两村庄与公路 MN 连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由23. 如图，点 P 是AOB 的边 OB 上的一点（1） 过点 P 画 OB 的垂线，交 OA 于点 C，（2） 过点 P 画 OA 的垂线，垂足为 H，（3） 线段 PH 的长度是点 P 到的距离，线段是点 C 到直
7、线 OB 的距离（4） 因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段 PC、PH、OC 这三条线段大小关系是（用“”号连接）24. 已知：如图所示，1=2，3=4，GFAB 于 G 点，那么 CD 与 AB 是否互相垂直？试判断并说明理由25. 如图，已知 OAOB，1 与2 互补，求证：OCOD26. 你能用折纸的方法过一点作已知直线的垂线吗？27. 先拿一张长方形的白纸，按如图所示的方式将A、E 折叠，使 AB 与 BE重合，则 BC 与 BD 有什么关系？ 说明理由28. 分别过点 P 作线段 MN 的垂线29. 如图，AOE 与BOF 互余，那么 AO 与 BO 是否
8、垂直？试说明理由30. 对于平面上垂直的两条直线 a 和 b，称（a，b）为一个“垂直对”，而 a 和 b 都是属于这个“垂直对”的直线那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？参考答案：1作图如图所示：根据两点之间距离即可得出 P、Q 两点间的距离是线段 PQ 的长度，根据点到直线的距离可得出点 Q 到直线 AB 的距离是线段 QD 的长度，根据点到直线的距离可得出点 Q 到直线 AC 的距离是线段 QF 的长度，根据点到直线的距离可得出点 P 到直线 AB 的距离是线段 PE 的长度，故答案为 PQ，QD，QF，PE2（1）如图：（2）线段 PH 的长度是点 P 到直线 OA
9、的距离， 线段 CP 的长度是点 C 到直线 OB 的距离，根据垂线段最短可得：PHPCOC， 故答案为：OA，线段 CP，PHPCOC3（1）过 B 点作 DC 的垂线，交 CD 的延长线于 E 点，如，则线段 BE 的长为点 B 到直线 CD 的距离；所以过直线外一点作直线的垂线，垂线段长就是这个点到直线的距离；（2） A、C 两点之间的距离为线段 AC 的长；（3） 过 C 点作 AD 的垂线，垂足为 F 点，如图， 则线段 CF 的长即为两条平行线 AD、BC 之间的距离故答案为过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长就是这个点到直线的距离；AC；两条平行线之间的距离就是一条直线上任意一点
10、到另一条直线的距离4. AFDE，DEBC，AFBC，DHBC，DHGF，DEBC，四边形 DHFG 是平行四边形，DH=GF=4cm，AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm， 即点 A 到 BC 的距离是 8cm5. 过点 A 作 BC 的垂线，交 CB 的延长线于 E，根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离可得 AE 的长度即为点 A 到 BC 的距离答：AE 的长度即为点 A 到 BC 的距离6C=90，AB=5，AC=4，BC=3，点 A 到直线 BC 的距离为 4，点 B 到直线 AC 的距离为 3，A 、 B 间 的 距 离 为 5， AC
11、+BCAB，其依据是三角形任意两边之和大于第三边 长 度 ， ABAC，其依据是直角三角形中斜边长度大于直角边长度7. 如图所示，AE、BF 就是村庄 A、村庄 B 修筑水渠的路线图8. 如图，过 C 作 CDAB，垂足为 D， 在 D 处开沟，则沟最短因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短9. 根据垂线段定理，可知王林先到达学校因为从他家到学校是垂线段，路程最短10. 如图：（1） 过点 C 画一平行线平行于 AB（2） 过点 C 作 CD 垂直于 AB 交 AB 于点 D然后用尺子量 CD 的长度，再按 1：2000 的比例求得实际距离即可11. 如图所示（1） 沿 AB
12、走，两点之间线段最短；（2） 沿 BD 走，垂线段最短；（3） 沿 AC 走，垂线段最短12. CDAB，线段 CD 的长度就是点 C 到直线 AB 的最短距离 故答案为：垂线段最短13. 如图，过点 P 作 PDa 于 D，则由点 P 沿着 PD 修路，能使所修之路最短14已知COD=90，COE=60，DOE=9060=30，又AOB 与DOE 是对顶角，AOB=DOE=3015AOC=BOD，BOD=130，AOC=130OF 平分AOC，AOF=FOC=65OEOF，EOF=90BOE=180AOFEOF=1806590=2516（1）AOB=COD=90，且BOC=45，AOC=AO
13、BBOC=45，BOD=CODBOC=45；（2）AOB=COD=90，且BOC=25，AOC=AOBBOC=65，BOD=CODBOC=65；（3）AOC=BOD，等角的余角相等17OE 平分BON，BON=2EON=40，COM=BON=40，AOBC，AOC=90，AOM=90COM=9040=5018（1）AOC=BOD=30，OFCD，AOF=9030=60；（2）OP 是AOD 的平分线，AOP= AOP= （180BOD）= （18030）=75，POF=AOPAOF=7560=1519OE 为BOD 的平分线，BOE= BOC，即BOD=2BOE=215=30；OA 丄 OB，OC 丄 OD，AOB=COD=90，AOC=360909030=150201=20，BOC=90，BOE=BOC1=9020=70，2=BOE=70 21这几种实际问题用数学原理解释分别是： 两点确定一条直线；夹在两平行线间的线段中，垂线段最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短22连接 AB，作 BCMN，C 是垂足，线段 AB 和 BC就是符合题意的线路图因为从 A
