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1、余弦定理的证明方法篇一：余弦定理的证明方法集锦 余弦定理的证明方法集錦 江苏省泗阳县李口中学沈正中 余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较 经典的几种证明方法，供大家参考！ 余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两 边与其夹角余弦的积的二倍。 如图1所示，在ABC中，若ABc，BC a，CAb，则c2a2b22abcosC（或a2b2 c22bccosA或b2c2a22cacosB）。 正、余弦定理的证明-方法种种 正、余弦定理的证明-方法种种 在解三角形的有关知识中，正、余弦定理占有十分重要的地位，是揭示任意三角形边角之间关系的两个重要定理，它们相辅相成，是
2、一个不可分割的整体.要想灵活的应用正、余弦定理解决有关三角形问题，必须熟练掌握这两个定理的证明，本文归纳了正、余弦定理的几种常见证明方法，希望能对同学们的正、余弦定理的学习有所帮助和启示 一、正弦定理的证明 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abc?. sinAsinBsinC 教材中给出了用三角函数定义的证明，除此以外还可以用向量法和几何法来证明正弦定理. 证明：方法一（向量法）：如图（1），ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直 于AB，则j与AB的夹角为?，j与BC的夹角为?B，j与CA的夹角为22 ? 2?A，设角A、B、C的对边分别为a、b、c， AB?B
3、C?CA?0，j?AB?j?BC?j?CA?j?0?0， 即jABcos?jBCcos?B?jCAcos?A?0. 2?2?2? ab?. sinAsinB bcabc?同理可得：,即. sinBsinCsinAsinBsinCasinB?bsinA，即 当ABC为钝角三角形（如图（2）或为直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论，请同学们自己证明.（注意：在此证明过程中，要注意两向量所成的角与三角形内角的关系.） 方法二（几何法）：如图所示，设O为ABC外接圆的圆心，连BO并延长交 O于A,连AC，则A?A或A?A，sinA?sinA?BCa?，AB2R abc?2R,同理可证?2R,?2R
4、. sinAsinBsinC abc?2R. 故有sinAsinBsinC即 方法三（解析法）：如图，在ABC中，三内角A,B,C所对的边分别 是a,b,c.以A为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则C点 坐标是（b,0）. 由三角函数的定义得B点坐标是?ccosA,csiaA?,所以 CB?ccosA?b,csin?A.将CB平移到起点为原点A，则 AD?CB.因为AD?CB?a,?DAC?BCA?C,根据三角函数的定义知D点坐标是acos?C?,asin?C?，即D坐标是?acosC,asinC?.所以 ,所以?acosC,asiC所n?sbc,?s.iAn以AD?acosC,asi
5、nC?.又因为AD?CB?ccoA? asinC?csinA,即acababc?.同理可证，所以. sinAsinCsinAsinBsinAsinBsinC 二、余弦定理的证明 余弦定理 三角形的任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 a?b?c?2bccosA，b?a?c?2accosB，c?a?b?2abcosC. 教材中给出了用向量证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的作用，另外，还可以用解析法和三角法来证明余弦定理. 证明：方法一（解析法）：如图，以A点为原点，以ABC的边AB所在直线 为为x轴，以过点A与AB垂直的直线为y轴，建
6、立直角坐标系， 则A（0，0），C（bcosA,bsinA），B（c,0）, 2由两点间的距离公式得BC?bcosA?c?bsinA?0?， 22222222222 a2?b2cos2A?2bccosA?c2?b2sin2A，即a2?b2?c2?2bccosA. 同理可证b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC. 方法二（几何法）：如图，当ABC为锐角三角形时，过C作CDAB于D， 则CD?bsinA,BD?AB?AD?c?bcosA. 在RtBCD中，由勾股定理得BC?CD?BD, 222222即a?bsinA?c?bcosA?.整理得a?b?c?2bccosA.
7、2222 同理可证：b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC. 222222 CD?bsinA,BD?AD?AB?bcosA?c. 当ABC为钝角三角形时，如图， 在RtBCD中，由勾股定理得BC?CD?BD, 222222即a?bsinA?bcosA?c?.整理得a?b?c?2bccosA. 2222 同理可证：b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC. 222222篇三：余弦定理的十一种证明方法 余弦定理的十一种证明方法 余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较经典的十一种证明方法，供大家参考！ 余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减
8、去这两边与其夹角余弦的积的二倍。 如图1所示，在ABC中，若ABc，BCa，CAb，则有： c2a2b22abcosC a2b2c22bccosA b2c2a22cacosB. sinAsinBsinC ?a?2RsinA?b?2RsinB ?c?2Rsinc? 所以 a2b2c24R2(sin2Asin2Bsin2C) 因sin2Asin2Bsin2C cos(AB) cos(AB)cos2CcosCcos(AB)cos2C cosCcos(AB)cosCcosCcos(AB)cos(AB) 2sinAsinBcosC， 所以a2b2c24R22sinAsinBcosC22RsinA2RsinBcosC 2abcosC，即c2a2b22abcosC。
