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1、 0 2 11 3 43 4沈 阳 农 业 大 学 理 学 院 第 一 学 期 期 末 考 试高等代数试卷（1）题号一二三四五六七总分得分一、填空（共 35 分，每题 5 分）得分：名姓线1 设 f ( x) =x 4 +x 2 +4 x -9 , 则 f ( -3) =2 当 t = _2,-2 .时, f ( x ) =x 3 -3 x +t69_ .有重因式。3. 令f ( x),g ( x)是两个多项式, 且 f ( x 3 ) +xg ( x 3 )被 x2+x +1整除, 则订f (1) =0_ ,g (1) =_0 .3 10 2装4. 行列式-1 01 06 21 1=23 。
2、-3 -2 0141 0：号学5. 矩阵的积1 0 3 -1 2 1 0 2-1211 3 =0 1 3 49 -2 -1 9 9 11。5 0 0 6. 0 3 1 -115= 000 01 -1-2 37.x +2 x +2 x +x =0 1 2 3 42 x +x -2 x -2 x =0 1 2 3 4x -x -4 x -3 x =0 1 2 3 4的一般解为：级班 5 x =2 x + x 34x =-2x - x 2 3,x , x34任意取值。a 2b -1 3 1 0 b -1 1 0a b b +3 2b -1 0 0 b +1 2b -2 0 b -1 1 00 0 b
3、 +1 2b -223二、（10 分）令f ( x ) , g ( x )是两个多项式。求证( f ( x ), g ( x) =1得分当且仅当( f ( x ) +g ( x ), f ( x) g ( x ) =1。证：必要性. 设( f ( x ) +g ( x ), f ( x) g ( x) 1。（1%）令 p( x )为 f ( x) +g ( x ), f ( x) g ( x )的不可约公因式，（1%）则由 p ( x ) | f ( x) g ( x)知p ( x ) | f ( x ) 或 p ( x) | g ( x )。(1%)不妨设 p( x) | f ( x )，再
4、由 p ( x ) | ( f ( x ) +g ( x)得 p( x) | g ( x)。故 p( x ) |1矛盾。(2%)充分性. 由( f ( x ) +g ( x ), f ( x) g ( x ) =1知存在多项式 u( x ), v ( x )使u ( x)( f ( x) +g ( x) +v ( x ) f ( x) g ( x) =1,(2%)从而 u ( x) f ( x) +g ( x )(u ( x) +v ( x) f ( x ) =1,(2%)故( f ( x ), g ( x) =1。(1%)三、(16 分) a , b 取何值时，线性方程组ax +bx +2
5、x =11 2 3ax +(2 b -1)x +3 x =11 2 3ax +bx +(b +3) x =2b -11 2 3有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解：得分ab 2 1 a b 2 1 a 2 -b 0 1 (5%)当a (b 2 -1) 0时，有唯一解： x =15 -b -2 2b -2，x = , x = ；(4%) a(b +1) b +1 b +1当 b =1 时，有无穷解：x =0, x =1 -ax , x 3 2 11任意取值；当a =0, b =5时，有无穷解：x =k , x =-1 1 2 3, x =43 3, k任意取值；(3%)当b =-
6、1或 a =0 且 b 1且 b 5时，无解。(4%)1a四、(10 分)设a , a ,., a 1 2n都是非零实数，证明得分1 +a111.11 +a11.111 +a3. 1. 1. 1. .111.=a a .a (1+1 2 nni =11ai)111. 1 1 +an证:对 n 用数学归纳法。当 n=1 时 ,1D =1 +a =a (1+ )1 11, 结论成立(2%);假设 n-1 时成立。则 n 时Dn=1 +a 1 1 11 1 +a 121 1 1 +a3. . .1 1 1.111.11 1 +a 1 111 1 1 +a 121 + 1 1 1 +a3. . . .
7、1 1 1 1.1 01 01 0. .1 an=a a .a1 2n -1+a Dn n -1(4%)现由归纳假设Dn -1=a a .a 1 2 n -11 +n -1 1ai =1 i有D = a a .a +a D = a a .a +a a .a a 1+ n 1 2 n -1 n n -1 1 2 n -1 1 2 n -1 nn -1 1ai =1 i=a a .a a 1 + 1 2 n -1 nn 1ai =1 i,(3%)故由归纳原理结论成立。(1%)五、(10 分)证明f ( x ) =x 4 +1在有理数域上不可约。得分证: 令x =y +1得(1%)g ( y ) =
8、 f ( x ) =y4+4 y3+6 y2+4 y +2。(3%)取素数 p=2 满足2 | 2,2 | 4,2 | 6,2 | 4,且 2 不整除 1, 4 不整除 2. (2%)再据艾茵斯坦茵判别法知g ( y ) =y4 +4 y 3 +6 y 2+4 y +2在有理数域上不可约，（2%）(r 0B A n= n 1 从而f ( x) =x 4 +1在有理数域上不可约（2%）六、（9 分）令A为数域F上秩为 r的m n矩阵，r 0。求证：存在秩得分为 r 的 m r 矩阵 F 和秩为 r 的 r n 矩阵 G , 使得 A =FG 。证:A为数域F上秩为 r的m n矩阵，r 0,则存在
9、m m可逆阵 P 和n n可逆阵 Q使A =PIr000Q.（3%）进而令I F =P , G = I r0 )Q（4%）就得.A =FG（2%）七、（10 分）设 A , B 是n n矩阵, 且A +B,A -B可逆。求证2n 2n得分矩阵 P =A B 可逆, 且求 P-1。证:| P |=AABBA +B B A +B B= = =|A +B | A -B |0 B +A A 0 A -B，故 P 可逆 （5%）令 P -1 =XTYS有A B X B A TY IS 00In.（1%）AX +BT =IAY +BS =0进而 （1%），解得 BX +AT =0BY +AS =In 1X = (A +B ) -1 +( A -B ) -1 2Y = (A +B ) -1 -( A -B ) -1 2 T =YS
