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1、有这么一个故事-离心率关于椭圆离心率22设椭圆 x 2y2 1（ a b0） 的左、右焦点分别为 F1、 F2 ，如果ab椭圆上存在点P，使 F1 PF290 ，求离心率 e 的取值范围。解法 1：利用曲线范围设 P（ x， y），又知 F1 （c， 0）， F2 （c， 0） ，则F1 P ( x c， y) ， F2 P( x c， y)由 F1 PF2则 F1P F2P即 ( xc)( x得 x 2y 290 ，知 F1PF2P，0，c)y20c2将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得2222x 2ac2a2 babF1 PF290但由椭圆范围及知 0x2a 2即 0a 2 c2a 2
2、b2a 2a2b2可得 c2b2 ，即 c2a2c2 ，且 c2a2从而得 ec2 ，且 ec1a2a所以 e2 ，1）2解法 2：利用二次方程有实根由椭圆定义知|PF1 | | PF2 |2a| PF1|2|PF2 |22| PF1| PF2 |4a2经典的，不会那么容易过时-1有这么一个故事-离心率又由 F1 PF2 90 ，知| PF1|2 | PF2 |2 |F1F2|24c2则可得 | PF1| PF2 | 2(a 2c2 )这样， | PF1|与 |PF2 |是方程 u 22au 2(a 2c2 )0的两个实根，因此4a 28(a2c 2 )02 c2 1e22a2e2因此 e2
3、， )12解法 3：利用三角函数有界性记PF1 F2， PF2 F1，由正弦定理有|PF1| | PF2 |F1F2 |sinsinsin 90|PF1| |PF2|sinsin| F1F2 |又 | PF1|PF2 |2a， |F1 F2 |2c，则有ec111asinsin2 sincos2 cos222而 0| 90知 0|4522cos122从而可得2e 12经典的，不会那么容易过时-2有这么一个故事-离心率解法 4：利用焦半径由焦半径公式得|PF1| a ex， | PF2 | a ex又由 |PF1 |2| PF2 |2|F1F2 |2，所以有a 22cxe2 x 2a 22cxe
4、2 x 24c2即 a 2e2 x 22c2 ， x 22c 2a 2e2又点 P（ x， y）在椭圆上，且 xa，则知 0 x 2a2 ，即2c2a 2a20e22得e，1）解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有2a|PF1 | | PF2 | 平方后得4a 2|PF1 |2| PF2 |22| PF1 | PF2 |2(|PF1 |2|PF2 |2 ) 2|F1 F2 |28c2得c21所以有 e2， 1）a222解法 6：巧用图形的几何特性由 F1 PF290，知点 P 在以 |F1 F2 |2c 为直径的圆上。又点 P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有 c bc2b2a 2c2由
5、此可得 e2 ，1）2经典的，不会那么容易过时-3有这么一个故事-离心率演练一、直接求出a， c 或求出 a 与 b 的比值，以求解e 。在椭圆中， ec ， ecc2a 2b21 b 2aaa 2a 2a 21.已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于_2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2 倍，则其离心率为_3.若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1,0), F2 (3,0), 则椭圆的离心率为_4. 已知矩形 ABCD， AB 4，BC3，则以 A、B为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_5. 若椭圆 x2y 21,( ab 0) 短轴端点为 P 满足 PF1PF2 ，则a
6、2b2椭圆的离心率为 e_6. 已知 121(m0.n0) 则当 mn取得最小值时，椭圆mnx2y 21的的离心率为m2n2_经典的，不会那么容易过时-4有这么一个故事 -离心率227. 椭圆 x2y21(a b0) 的焦点为 F1 ， F2 ，两条准线与x 轴的ab交点分别为 M，N ，若 MN F1 F2 ，则该椭圆离心率的取值范围是 _8. 已知 F1为椭圆的左焦点，A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当11，（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为PFF APO AB_9. P 是椭圆 x2+y 2=1（ a b 0）上一点， F1、F2是椭圆的左右焦点，已a2b 2e知P
7、FF , PFF2 ,F PF23,椭圆的离心率为_1221110. 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上一点，若PF1 F2 15 , PF 2 F1 75 ， 则椭圆的离心率为_11. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2 ，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为_二、构造a， c 的齐次式，解出e1已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是_2以椭圆的右焦点F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、 N 两点，椭圆的左焦点为F1，直线 MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是 _3以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并
8、且与椭圆交于M、 N两点，如果 MF = MO，则椭圆的离心率是_4设椭圆的两个焦点分别为F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_经典的，不会那么容易过时-5有这么一个故事-离心率5已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，过F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点，若 ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是_三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1已知 F、 Fuuuuruuuur的点 M总在是椭圆的两个焦点，满足MF1MF2 012椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_2已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且F1 PF290 ，椭圆离心率e 的取值范围为_3已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且F1PF260 ，椭圆离心率e 的取值范围为_4设椭圆 x 2y 2 1（ ab0）的两焦点为 F1、 F2，若椭圆上存在一
