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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第5讲.不等式.学生版智康教学部不等式高考要求不等式要求层次重难点基本不等式：（）C用基本不等式解决简单的最大（小）值问题一元二次不等式C解一元二次不等式知识内容版块一不等式的性质1用不等号表示不等关系的式子叫做不等式2对于任意两个实数和，在三种关系中，有且仅有一种关系成立3两个实数的大小比较：对于任意两个实数，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大
2、作差比较法：；其中符号表示它的左边与右边能够互相推出4不等式的性质：性质1：（对称性）如果，那么；如果，那么性质2：（传递性）如果，且，则性质3：如果，则推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边推论2：如果，则我们把和（或和）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向性质4：如果，则；如果，则实数大小的作商比较法：当时，若，且，则；若，且，则推论1：如果，则推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所
3、得到的不等式与原不等式同向推论2：如果，则推论3：如果，则1 对于任意两个实数，有；，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与比较，但这时要注意分母的正负情况2比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者这里的代数式的字母是有范围的，省略不
4、写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便3可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质的推论可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识版块二均值不等式1均值定理：如果（表示正实数），那么，当且仅当时，有等号成立此结论又称均值不等式或基本不等式2对于任意两个实数，叫做的算术平均值，叫做的几何平均值均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值3两个正数的积为
5、常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值1在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等2均值不等式的几何解释：半径不小于半弦对于任意正实数，作线段，使；以为直径作半圆，并过点作于，且交半圆于点；连结，则，当时，在中，有当且仅当时，两点重合，有3已知：（其中表示正实数），有以下
6、不等式：其中称为平方平均数，称为算术平均数，称为几何平均数，称为调和平均数证明：，当且仅当“”时等号成立，当且仅当“”时等号成立，当且仅当“”时等号成立，当且仅当“”时等号成立了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍板块三解不等式1含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式不等式，叫做一元二次不等式一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以为例）：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根没有实根一元二次不等式的解集或，且实数集注：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合
7、思想，可使问题得到顺利解决其方法大致有：用一元二次方程根的判别式，参数大于最大值或小于最小值，变更主元利用函数与方程的思想求解2 解不等式解一元二次不等式通常先将不等式化为或的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于时两根之外，小于时两根之间； 分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；高次不等式主要利用“序轴标根法”解 典例分析版块一不等式的基本性质【例1】 若，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A B C D【例2】 将，按从大到小的顺序排列应该是 【例3】 若，则 满足（ ）AB C D 【例4】 若，则下列不等式中， 正确的不等式有_
8、（写出所有正确不等式的序号）【例5】 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）A B C D【例6】 已知函数若，互不相等，且，则的取值范围是A B C D【例7】 若，则的取值范围是 【例8】 已知；，求：的取值范围【例9】 已知，求各自的取值范围版块二均值不等式与不等式的证明【例10】 设，则的最小值是（ ）A2 B4 C D5【例11】 若为的三个内角，则的最小值为 【例12】 设，求证：，当且仅当时等号成立，进一步证明：，当且仅当时各等号成立【例13】 已知，且求证：【例14】 若半径为的圆内接的面积是，三边长分别为，求证：；【例15】 当时，函数有最 值，其值是 【例16】 正数、满足
9、，则的最小值是 【例17】 若、且，则的最大值是_【例18】 设，则的最大值为 版块三线性规划【例19】 设为坐标原点，若点满足，则的最小值为（ ）A B CD【例20】 已知变量满足，则的最小值为（ ）A B C D【例21】 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A B C D版块五解不等式【例22】 不等式的解集为_；【例23】 不等式的解集是（ ）ABCD【例24】 不等式的解集是 【例25】 不等式的解集为A，或 B，或C，或 D，或【例26】 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D【例27】 已知函数，则满足不等式的的取值范围是 【例28】 若函数若，则实数的
10、取值范围是A B C D版块六不等式中的恒成立与有解问题【例29】 已知不等式对于一切大于的自然数都成立，试求实数的取值范围【例30】 若不等式对恒成立，则的取值范围是_【例31】 若不等式在时恒成立，试求的取值范围【例32】 设对所有实数，不等式恒成立，求的取值范围【例33】 已知集合（其中为正常数） 设，求的取值范围； 求证：当时不等式对任意恒成立； 求使不等式对任意恒成立的的范围课后作业1. 已知，那么“”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件2. 若，则下列不等式中正确的是（ ）A B C D3. ，是三角形的三边，求证：； 4. 已知，求证5. 不等式组所表示的平面区域的面积等于 -
