《考研数三(历年真题+答案详解)之_2003至2013年真题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数三(历年真题+答案详解)之_2003至2013年真题（179页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)设/(x)=卜cos-,-V*0,其导函数在x=o处连续，则2的取值范围是.0 J若工=0,(2)已知曲线y =/一3a2*+/,与x轴相切，则/可以通过a表示为/=.!a x 二,t 一而D表示全平面，则0,其他，I = JJ/(x)g(y-x)dxdy=.D(4)设n维向量2=(凡0,0,a)r,a00时,匕=空X；依概率收敛于.,=i二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1
2、)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且/(0)存在，则函数g(x)=/ X(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.(2)设可微函数f(x,y)在点(的，丫。)取得极小值，则下列结论正确的是(A)/(%,丁)在y =0处的导数等于零.(B)/(%,)在y =汽处的导数大于零.(C)/(/，/在y 二%处的导数小于零.(D)/(工0，丫)在y =%处的导数不存在.设p=。丁,=1,2,，则下列命题正确的是(A)若Z明条件收敛，则Zp”与Z/都收敛 n=l=1n000000(B)若Z%绝对收敛，则“与Z。，都收敛 n=ln=ln=
3、l000000(O若z%,条件收敛，则Z pn与Z /敛散性都不定.11=1=1=1(D)若%绝对收敛,n=l则与敛散性都不定 =l n=la(4)设三阶矩阵4= b bb ba b ,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有b a(A) a=b 或 a+2b=0.(C) ab H.a+2b=0.(B) a=b 或 a+2b#0.(D) aWb.a+2bH0.(5)设名,见，,见均为n维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数匕,女2,，都有女+左2。，+ k,a, w 0,则名.,凡线性无关.(B)若名,。2,凡线性相关，则对于任意一组不全为零的数占次2,，冗，都有 ka+ k、a、h
4、n ksas =0.(C) %,a2,见线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 4线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.I (6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：4=掷第次出现正面,4=掷第二次出现正面,4=正、反面各出现一次,4=正面出现两次，则事件(A) A1,A2,4相互独立.(B)&，4,44相互独立.(C)4，42，43两两独立.(D) A2，&，A4两两独立.三、(本题满分8分)设/()=+7，X U1)7cx sinx 乃(1-x)2试补充定义f(l)使得f(x)在,1上连续.四、(本题满分8分)设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 T + T =1,又g
5、(x, y)= fxy,-(x2-y2), du dv2五、(本题满分8分)计算二重积分I =sin，+ y2)dxdy.D其中积分区域口=(1,丫)卜2+y2乃.六、(本题满分9分)“X2fl求幕级数1+ Z(-D”(|x|2.0若 x =0,【分析】当XH0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当义1时，有若X H 0,若x = 0,。1-11,X-21AxcosF xsin一xx0,即其导函数在x=0处连续.显然当42时，有 lim/(x)=0=/(0),(2)已知曲线=/一3。2+6与X轴相切，则/可以通过a表示为/=就.【分析】曲线在切点的斜率为0，即y=0,由此可确定
6、切点的坐标应满足的条件,再根据在切点处纵坐标为零，即可找到从与a的关系.【详解】由题设，在切点处有y=3x23a2=0,有= a2.又在此点y坐标为0,于是有0= Xq -3a2 x0+b =0,故62= x：(3a2)2= a2-4a4=4a 6.【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.(3)设 a0, f(x)= g(x)=-而 D 表示全平面，则0,其他，I = JJ/(x)g(y-x)dxdy= ar_.I)【分析】本题积分区域为全平面，但只有当04x41,0 Wy-xW 1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】/=
7、J.(x)g(y-x)dxdy =JJ2 dxdy=q2dx dy - a1(x +1) xdx = a2.【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.(4)设n维向量a =(a,O,。0)。8= E T occc1, a 其中A的逆矩阵为B,则a=-1.【分析】这里aa为n阶矩阵，而a,a =2a2为数，宜接通过45= E进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有AB =(E-aaT)(E +-aaT) a17*-7=E -aa1T4 aa1T1aa -aaaa=E -aa11T+aa1 Taa a）aaa= E
8、-a0T -aaT -2aaaT a1 T=E +(12a 4)cxct = E, a于是有一12a +=0,即2a2+71=0, a =,a =1.由于 A0jr-0 x r-0r f 1 r 0【评注1本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时g(x)=1可排除x 0, x =0,(A),(B),(C)三项,故应选(D).【评注2】若f(x)在x = X。处连续，则lim= A o/(x()=0,/(X(,)=A.x x0(2)设可微函数f(x,y)在点(x,y)取得极小值，则下列结论正确的是(A)/(/，/在了=%)处的导数等于零.(B)/(%，乃在y =%处的导数大于零.(C)/(/，丫)在y =方处的导数小于零.(D)/(%，月在y =处的导数不存在.A 【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点(,光)取得极小值，根据取极值的必要条件知f(xo,yQ)= O,即/(与，田在了二九处的导数等于零，故应选(A).【评注1】本题考查了偏导数的定义，/(%
