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1、生活中的圆周运动【学习目标】1、能够根据圆周运动的规律，熟练地运用动力学的基本方法解决圆周运动问题。2、学会分析圆周运动的临界状态的方法，理解临界状态并利用临界状态解决圆周运动问题。3、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。【要点梳理】要点一、静摩擦力提供向心力的圆周运动的临界状态要点诠释：1、水平面上的匀速圆周运动，静摩擦力的大小和方向物体在做匀速圆周运动的过程中，物体的线速度大小不变，它受到的切线方向的力必定为零，提供向心力的静摩擦力一定沿着半径指向圆心。这个静摩擦力的大小，它正比于物体的质量、半径和角速度的平方。当物体的转速大到一
2、定的程度时，静摩擦力达到最大值，若再增大角速度，静摩擦力不足以提供物体做圆周运动所需要的向心力，物体在滑动摩擦力的作用下做离心运动。临界状态：物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。此时物体的角速度（为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。2、水平面上的变速圆周运动中的静摩擦力的大小和方向无论是加速圆周运动还是减速圆周运动，静摩擦力都不再沿着半径指向圆心，静摩擦力一定存在着一个切向分量改变速度的大小。如图是在水平圆盘上的物体减速和加速转动时静摩擦力的方向：（为了便于观察，将图像画成俯视图）要点二、竖直面上的圆周运动的临界状态要点诠释：1.汽车过拱形桥在竖直
3、面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于变速圆周运动，需要特别注意几种具体情况下的临界状态。例如：汽车通过半圆的拱形桥，讨论桥面受到压力的变化情况（1）车在最高点的位置时对桥面的压力对车由牛顿第二定律得： 为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即所以车的速度应满足关系临界状态：汽车在最高点处桥面对汽车的支持力为零，此时汽车的速度。如果，在不计空气阻力的情况下，汽车只受到重力的作用，速度沿着水平方向，满足平抛运动的条件，所以从此位置开始，汽车将离开桥面做平抛运动，不会再落到桥面上。（2）汽车沿着拱形桥面向下运动时车对于桥面的压力当汽车在跨越最高点后的某一位置时由牛顿第二定律
4、得解得汽车对于桥面压力的大小可见在汽车速度大小不变的情况下，随着角的不断减小，汽车对桥面的压力不断减小。临界状态：当时，汽车对桥面的压力减小到零。从此汽车离开桥面做斜下抛运动。所以要使得汽车沿着斜面运动，其速度必须满足：，即车的速度。2.细线约束的小球在竖直面上的变速圆周运动例如，用长为R的细绳拴着质量是m的物体，在竖直平面内做圆周运动。mgTV 在最高点处，设绳子上的拉力为T根据牛顿第二定律列方程得：由于绳子提供的只能是拉力，所以小球要通过最高点，它的速度值。临界状态：在最高点处，当只有重力提供向心力时，物体在竖直面内做圆周运动的最小速度是。若在最高点处物体的速度小于这个临界速度，便不能做圆
5、周运动。事实上，物体早在到达最高点之前，就已经脱离了圆周运动的轨道，做斜上抛运动。3.轻杆约束小球在竖直面上的变速圆周运动例如，一根长度为R轻质杆一端固定，另一端连接一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。在最高点，设杆对球的作用力为FN，规定向下的方向为正方向，根据牛顿第二定律列方程得：因为杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以当时，杆对球提供向上的支持力，与重力的方向相反；当时，这与绳子约束小球的情况是一样的。所以轻杆约束的情况可以存在两个临界状态：在最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力，大小等于小球的重力；在最高点处的速度是时，轻杆对小球
6、的作用力为零，只由重力提供向心力。球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力；球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。要点三、物体做离心与向心运动的条件外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动离心运动外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动也可称之为向心运动要点四、处理圆周运动的动力学问题时应注意的问题（1）确定向心力的来源。向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力。（2）确定研究对
7、象的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图所示，小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O点，而不是在球心O，也不在弹力FN所指的PO线上。（3）物体在静摩擦力作用下做匀速圆周运动时，相对滑动的临界条件是恰好达到最大静摩擦力。（4）物体在不同支承物（绳、杆、轨道、管道等）作用下，在竖直平面做圆周运动，通过最高点时的临界条件。轻绳模型如图所示没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：得 （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）能过最
8、高点的条件：，当时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力不能过最高点的条件：，实际上球还没到最高点时就脱离了轨道.轻杆模型（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，管壁支撑情况与杆一样。当v0时，Nmg（N为支持力）当 时， N随v增大而减小，且，N为支持力当v=时，N0当v时，N为拉力，N随v的增大而增大 若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力【典型例题】类型一、生活中的水平圆周运动例1、如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴
9、着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动则下列说法正确的是( ) A球A的线速度必定大于球B的线速度 B球A的角速度必定小于球B的角速度 C球A的运动周期必定小于球B的运动周期 D球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力【思路点拨】两球均贴着圆锥筒的内壁，在水平面内做匀速圆周运动。关注到两球在运动中的半径不同，正确对物体进行受力分析，应用向心力公式即可比较两球运动中各个物理量的关系。【答案】AB【解析】两球均贴着圆锥筒的内壁，在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用。其合力必定在水平面内时刻指向圆心，如图所示由图可知，筒壁对球的弹力为，对于A、B两球，因质量相等，角也
10、相等，所以A、B两球受到筒壁的弹力大小也相等，由牛顿第三定律知，A、B两球对筒壁的压力大小也相等，D选项不正确对球运用牛顿第二定律得，球的线速度，角速度，周期由此可见，球的线速度随轨道半径的增大而增大，所以A球的线速度必定大于B球的线速度，A选项正确球的角速度随半径的增大而减小，周期随半径的增大而增大，所以A球的角速度小于B球的角速度，A球的周期大于B球的周期，A球的运动频率小于B球的运动频率，B选项正确，C选项不正确【总结升华】(1)A、B两球的向心加速度、线速度、角速度、周期、频率等物理量与球的质量无关。 (2)在匀速圆周运动中，物体所受合力提供向心力，正确对物体进行受力分析是分析求解的基
11、础例2、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度与夹角的关系【思路点拨】座椅在水平面内做匀速圆周运动，其半径是它到转轴之间的水平距离。【答案】【解析】对座椅进行受力分析，如图所示y轴上：， x轴上：， 则由得：，因此【总结升华】本题是一道实际应用题，考查了学生用物理知识解决实际问题的能力，解答这类问题的关键是把实际问题转化成物理模型，用物理知识解决实际问题，这是学习物理的最高境界，也是近几年高考命题
12、一个非常明显的趋向类型二、生活中的竖直圆周运动例2、如图所示，轻杆长为3L，杆上距A球为L处的O点装在水平转动轴上，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为3m的B球，杆在水平轴的带动下，在竖直平面内转动问： (1)若A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，求此时水平轴所受的力；(2)在杆的转速逐渐增大的过程中，当杆转至竖直位置时，能否出现水平轴不受力的情况?如果出现这种情况，A、B两球的运动速度分别为多大?【解析】(1)令A球质量为mA，B球质量为mB，则mAm，mB3m当A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，说明此时A球的重力提供向心力，则有mAg，所以 又因为A、B两球固定在同一杆上，因此设此
13、时OB杆对B球的拉力为FT，则有FT-mBgmB，所以FT9mg 对OB杆而言，设水平轴对其作用力为F，则FFT9mg由牛顿第三定律可知，水平轴所受到的拉力为9mg，方向竖直向下 (2)若水平轴不受力，那么两段杆所受球的拉力大小一定相等，设其拉力为，转动角速度为，由牛顿第二定律可得： ， ， 由得：m1g+m2g(m1L1-m2L2)2， 从上式可见，只有当m1L1m2L2时才有意义，故m1应为B球，m2为A球 由式代入已知条件可得：(3m+m)g(3m2L-mL)2，所以由上述分析可得，当杆处于竖直位置，B球在最高点，且时，水平轴不受力，此时有，【总结升华】本题中要注意研究对象的转换，分析轴
14、所受力的作用，先应分析小球的受力，而后用牛顿第三定律分析举一反三【高清课程：圆周运动的实例分析 例9】【变式】质量为m的小球，用长为l的线悬挂在O点，在O点正下方处有一光滑的钉子C，把小球拉到与O在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，如图所示.将小球从静止释放.当球第一次通过最低点P时()A.小球线速度突然增大B.小球角速度突然增大C.小球的向心加速度增大D.摆线上的张力突然增大 【答案】BCD类型三、斜面上的圆周运动例3、 在倾角的光滑斜面上，有一长L0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一个质量m0.2kg的小球，使小球在斜面上做圆周运动，取g=10m/s2，求：（1）小球通过最高点时的最
15、小速度？（2）如果细绳受到10N的拉力就会断，则通过最低点B时的最大速度？【思路点拨】这是一个竖直面上变速圆周运动问题的变式问题，要注意找出和竖直面上的变速圆周运动的共同之处和不同之处，要特别重视分析问题方法的迁移。【解析】小球在垂直于斜面的方向上处于平衡状态，在平行于斜面的平面内的运动情况和竖直平面内用细绳约束小球的运动情况类似。（1）小球通过最高点A的最小速度，出现在绳子上拉力等于零的时候，此时重力的下滑分量提供向心力，在A点平行于斜面的方向上，由牛顿第二定律得：解得（2）在B点绳子恰好被拉断时，在平行于斜面的方向上，由牛顿第二定律得：解得【总结升华】用细绳约束在斜面上的变速圆周运动和竖直面上的变速圆周运动，解决问题的方式是完全相同的，不同之处是：在斜面上时只有重力的下滑分量对变速圆周运动有贡献。类型四、连接
