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1、章一阶微分方程的解法的小结、可分离变量的方程：、形如 dy = f(x)g(y) dx当g(y) 0时，得至U -dy- f f (x)dx ,两边积分即可得到结果; g(y)当g(0)=0时，则y(x)=*也是方程的解。2= x_+C (C为常数)例 1.1、dy = xy dx一dy ,解：当y # 0时，有 =xdx ,两边积分得到In y yx2所以y =Ge5 (Ci为非零常数且Ci = _eC)y =0显然是原方程的解;综上所述，原方程的解为 y =C1e2 (C1为常数)、形如 M (x)N(y)dx P(x)Q(y)dy =0当P(x)N(y) #0时，可有 M(dx =Q(Y
2、)dy ,两边积分可得结果； P(x) N(y)当N(y0)=0时，y=y0为原方程的解，当 P(x0)=0时，x = x0为原方程的解。22例 1.2、x(y 1)dx+y(x 1)dy=0解：当(x2 -1)(y2 -1) 0时，有dy =，dx两边积分得到1 -y x -1.2,.2,22Inx 1+Iny 1=InC (C#0),所以有(x -1)(y 1) =C (C#0)；当(x2 1)(y2 1) =0时，也是原方程的解;综上所述，原方程的解为(x2 -1)( y2 -1) =C (C为常数)。可化为变量可分离方程的方程：、形如= g()dx x解法：令u=2,则dy=xdUud
3、x,代入得到x0u+u=g(u)为变量可分离方程，得到 xdxf（u,x,C）=0 （C为常数）再把u代入得到f（Y,x,C） = 0 （C为常数）。 x、形如 dy =G(ax by),(ab =0) dx解法：令u =ax +by ,则dy = adx+du ,代入得到-+ a = G（u）为变量可分离方程，得到 bb dx bf（u,x,C）=0 （C为常数）再把u代入得到f （ax+by,x,C）=0 （C为常数）。、形如 dy 二 f（a1x by c1）dxa2xb2yC2解法:10、aia2thb2dy=0,转化为 = G(ax十by),下同; dx20、aia2b1b2/0,d
4、x +bfy +g =0 ， a2x+b2y+Q=0的解为伍小)令=x -Xo得到,叽 f (如上) = f(2S“ dua2u b2va2 b2?ug(-),下同; u还有几类：yf (xy)dx xg(xy)dy = 0, u = xy以上都可以化为变量可分离方程O小 dy x - y 5例 2.1、=dx x -y。2解：令u = x y 2 ,则dy =dx -du ,代入得到du u 7dx u,有 udu = -7dx所以 = -7x +C （C为常数），把u代入得到 2x y -,2)7x = C （C为常数）。例 2.2、dy dxx -2y 12x-y+1 =0， 得到x-2
5、y +1 =01x = 一一31y =一3u = x + 13,有11v = y 一一3dy = dv，,代入得到dx =dudvdu2.v2u -v 二 _u_ u-2V 1 _2v uvt = udv =t d u u d tdt代入得到t + u du2-t1 -2t化简得到，du1 -2t2u 2 - 2t 2t2d(1 -t t )22(1 -t t ),， 2、n t）+ C （C为常数）所以有Ci,(C1 =eC),故代入得到C11 丫一32 ,(C1 =0)1x十一3；(3)、一阶线性微分方程:一般形式：a 1( x)dydx%(x)y = h(x)标准形式：dy .dxP(x
6、)y =Q(x)解法：1、直接带公式:2、积分因子法:y(x)=，.(x)Q(x)dx C(x)(x)P(x)dx二e3、ivp ：羽+P(x)y =Q(x), y(x0) = yo dx例 3、 (x +1) dy _ny = ex(x +1)nd1dx解：化简方程为：dy -dx x 1y =ex(x +1)n,则 P(x)=,Q(x) =ex(x 1)n;,P(x) dx代入公式得到J(x) = e-=(x 1)-n所以，y(x) =(x+1)n(x+1)Hex(x+1)ndx + C =(x + 1)n(ex +C) (C 为常数)(4)、恰当方程:形如 M (x, y)dx N (x
7、, y)dy = 0, TG(x, y), s.t. dG = M (x, y)dx N (x, y)dy解法：先判断是否是恰当方程:如果有 M (x, y) = N(x, y)恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个:x：:G(x, y)G(x, y),s.t 刀=M(X,y),FG(x, y).x=N(x,y) ,有G(x, y)=C,(C为常数)；例 4、(3x2+6xy2)dx + (6x2y+4y3)dy=02223斛：由题总得到，M (x, y) = 3x 6xy , N (x, y) = 6x y 4y,M 一 二 N由 =12xy = 得到，原方程是一个恰当方程;.y二 x下面
8、求一个 G(x, y), s.t G(X, y) m M (X , y), G(X, y) = N(x, y) x；:y由 长(x, y) =M (X,y) =3x2 +6xy2 得 G(x, y) =x3 +3x2y2 +中(y),两边对 y 求偏导得到 :x=6x2y 十中(y) =6x2y +4y3,得到中(y) =4y3,有中(y) = y4 , -y故 G(x, y) = x3 +3x2y2 + y4 ,由 dG = 0 ,得到(5)、积分因子法：方程 M(x,y)dx + N(x, y)dy=0,罪(x, y),s.t.HMdx+2Ndy =0是一个恰当方程 ,那么称 岂(x, y
9、) 是原方程的积分因子；积分因子不唯一。：(x)dx，原方程有只与x有关的积分因子，且为N(x,y)=e，两边同乘以R(x,y),M当且仅当二y- = (x)N化为恰当方程，下同(4)。，原方程有只与y有关的积分因子，且为N(x, 丫)=6住”，两边同乘以N(x,y),；:M:N当且仅当二y三 = (y) -M化为恰当方程，下同(4)。例 5.1、(ex +3y2)dx +2xydy；:M _N“ M二 M ，N二 V X2解：由 M (x, y) =e +3y2,N (x, y) =2xy 得=6y _ 2y = 4y ,且有-= (x) = 一,有Fy：:xNx2dx 22223N(x,y
10、)=ex =x ,原方程两边同乘 x , 得到 x(e +3y )dx + 2x ydy = 0,化为d(x2 -2x +2)ex +x3y2) =0 ,得到解为例 5.2、ydx(x 十 y3)dy =0解：由题意得到，M (x, y) = y, N(x, y) = (x + y3),有 M 一生=1 一(-1) = 2 二 y二 x.:M ：:N2 (y)dy ! dy q_2-M=( y)= -，有(x, y)=e=ey =y ,原方程两边同乘y ,得到ydx (_2x y 、-y)dy - d(- - 一)一 0 ,得到原方程的解为：y 2(6)、贝努力方程:形如 dy P(x)y =
11、Q(x)yn, dx1 n .,n ,du解法：令 u=y ，有 du=(1_n)y dy ,代入得到 一 十 (1 一n)P(x)u = (1 -n)Q(x),下同(3) dx6 一=,Q(x) = x x例 6、a=6- -xy2 dx x解:12du 6=y ，有 du = y dy ,代入得到 一 十 u = x，则 P(x)dx x(x)P(x)dx 6=e = x ,6u(x) = x x xdx C=x2 C十 6 ,(C为常数)把 u代入得到+一 C68 x,(C为常数).(7)、一阶隐式微分方程:一般形式：F (x, y, y) = 0 ,解不出y 的称为一阶隐式微分方程。卜
12、面介绍四种类型:、形如y = f (x,般解法：令p =曳，代入得到ydxf (x, p),两边对x求导得到开dpI .:p dx这是关于x, p的一阶线性微分方程，仿照(3),1、得出解为p =%x,C),C为常数那么原方程的通解为2、得出解为x=Wp,C),C为常数那么原方程的通解为3、得出解为中(x, p,C) =0,C为常数，那么原方程的通解为、形如x二 f (y,般解法：令p=dy,代入有x= f(y,p),两边对y求导，得到 dxFf：:f dp r ：:y p dy此方程是一阶微分方程,可以按以上(1) (5)求出通解G(y, p,C) =0,C为常数，那么原方程的通解为、形如F
13、 (x, y ) =0x=* 什) 一一 i-一般解法：设两边积分得到,小，(t 为 参)数 dy = y dx = 6(t)中(t)dty =a中(t)dt+C,C为常数，于是有原方程的通解为、形如F (y, y ) = 0y =5(t) .，一甲 7t).般解法：设 y ，(t为参数)，由关系式dy = ydx得(t)dt=4(t)dx ,有dx=)dt ,两边积分y = M)*(t),- (t)得到x = f(-dt +C, C为常数，于是有 (t)例 7.1 xy 3 = 1 y1 p解：令p = y ,得到x =一1 ,两边对y求导，得到P1-(一(3-3F p dy有 dy =(3
14、 .23)dp,得到y=+2+c,c为常数，于是通解为pp 2p例 7.2 y = y %yp 2 e p ,两边对x求导，得到p = (p2 + 2p)ep生，有 dxdx = ( p +2)epdp ,两边积分得到x = (p+l)ep+C,C为常数，于是通解为例 7.3 x2 y 2 =15 、r x = cost -,cos2t -1 .斛：设1，有 dy = ydx =sin t (-sin t)dt =出，所以、y=sint2于是通解为例 7.4 y2(1 一 y 2) = 1切几 y 一 sin 士dy -sin t 1. dt解：设 1 ，有 dx = T =2dt =2= d(- tant),所以y = y c
