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1、高中数学椭圆的知识总结(含答案)高中数学椭圆知识总结一、选择题1(09浙江)已知椭圆x 2a 2y 2b 21(a b 0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP 2PB ，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12答案 D解析 由题意知：F (c,0)，A (a,0)BF x 轴，AP PB a c.又AP 2PB ， a c 2，e c a 12.故选D. 2已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2y 2b21(a b 0)上一点，若PF 1PF 20，tanPF 1F 212，则椭圆的离心率为 ( )
2、 A.12 B.23 C.13 D.53答案 D解析 由PF 1PF 20知F 1PF 2为直角，设|PF 1|x ，由tanPF 1F 212知，|PF 2|2x ， a 32x ， 由|PF 1|2|PF 2|2|F 1F 2|2得c 52x ， e c a 53. 3(文)(北京西城区)已知圆(x 2)2y 236的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是 ( )A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线答案 B解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |PN |，又AM 是圆的半径， |PM |PN |PM |PA |A
3、M |6|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆 (理)(浙江台州)已知点M (3，0)，椭圆x 24y 21与直线y k (x 3)交于点A 、B ，则ABM 的周长为( )A 4B 8C 12D 16答案 B解析 直线y k (x 3)过定点N (3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24y 21的两个焦点，由椭圆定义知ABM 的周长为4a 428. 4已知椭圆x 2a 2y 2b 21(a b 0)与双曲线x 2m 2y 2n21(m 0，n 0)有相同的焦点(c ，0)和(c,0)(c 0)若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B
4、.22 C.14 D.12 答案 D 解析 由题意得 c 2am (1)2n 22m 2c 2 (2)c 2m 2n 2 (3)，由(2)(3)可得m c2，代入(1)得椭圆的离心率e c a 12.故选D. 5(文)椭圆x 2100y 2641的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足F 1PF 260，则F 1PF 2的面积是 ( ) A.6433 B.9133 C.1633 D.643答案 A解析 由余弦定理：|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF 2|cos60|F 1F 2|2.又|PF 1|PF 2|20，代入化简得|PF 1|PF 2|2563， S F 1PF 212|
5、PF 1|PF 2|sin606433. (理)已知F 是椭圆x 225y 291的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则ABF 的面积最大值为 ( )A 6B 15C 20D 12答案 D解析 S 12|OF |y 1y 2|12|OF |2b 12. 6(2010山东济南)设F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2y 2b21的左、右焦点，c a 2b 2，若直线x a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.0，22 B.33，1 C.22，1 D. 0，33 答案 B 解析 直线x a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过F 2，|F
6、1F 2|PF 2|，设直线x a 2c 与x 轴交于Q 点，则易知|PF 2|QF 2|，即|F 1F 2|QF 2|，2c a 2c c ， c a 2b 20，3c 2a 2，即e 213， e 33，33e b21(a b 0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A.32B.12C.22D.31答案 D解析 连结AF1，由圆的性质知，F1AF290，又F2AB是等边三角形，AF2F130，AF1c，AF23c，eca2c2a2cc3c 31.故选D.8(文)(辽宁沈阳)过椭圆C：x2a2
7、y2b21(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C 于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若1312，则椭圆离心率的取值范围是( )A.14，49B.23，1C.12，23D.0，12答案 C解析 点B的横坐标是c，故B的坐标c，b2a，已知k13，12，Bc，b2a.斜率kb2acab2aca2a2c2aca21e2e1.由1312，解得1223.(理)椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(ac0)静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，
8、经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是( ) A2(ac) B2(ac)C4a D以上答案均有可能答案 D解析 如图所示，本题应分三种情况讨论：当光线沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(ac)；当光线沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(ac )；在其它情况下，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.故选D.9(杭州五校)椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )A.14B.12 C 2 D 4 答案 A 解析 由题意y 21m x 21，且1
9、m2， m 14.故选A. 10(宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2y 2b21的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB k OM 的值为 ( )A e 1B 1eC e 21D 1e 2答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2y 21b 21，x 22a 2y 22b21，作差得(x 1x 2)(x 1x 2)a 2(y 2y 1)(y 2y 1)b2，k AB k OM y 2y 1x 2x 1y 1y 2x 1x 2b 2a 2c 2a 2a2e 21
10、.故选C. 二、填空题 11(文)已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2y 2b21(a b 0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且F 1MF 260，则椭圆的离心率为_答案 33解析 令x c ，c 2a 2y 2b21. y b 2a .|F 1M |b 2a. F 1MF 260，|MF 2|2|MF 1|2b 2a. 又|MF 1|MF 2|2a ，3b 2a2a . a 23c 2.e 213，0. (理)(08江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2y 2b21(a b 0)的焦距为2c .以点O 为圆心，a 为半径作圆M .若过点P a 2c ，0作圆M
11、 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_答案 22解析 设切点为Q 、B ，如图所示切线QP 、PB 互相垂直，又半径OQ 垂直于QP ，所以OPQ 为等腰直角三角形，可得2a a 2c， e ca 22.12在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的顶点A (4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225y 291上，则sin A sin C sin B _. 答案 54解析 x 225y 291的焦点是A (4,0)、C (4,0)，点B 在椭圆上，BA BC 2a 10， AC 8，由正弦定理得sin A sin C sin B BC AB AC 54. 13设椭圆x 225y 2
12、161上一点P 到右准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足OM 12(OP OF )，则|OM |_. 答案 3解析 设右焦点F ，由定义|PF |PF |10，|PF |10e 35，|PF |6， OM 12(OP OF )， M 为PF 的中点，|OM |12|PF |3. 14若右顶点为A 的椭圆x 2a 2y 2b21(a b 0)上存在点P (x ，y )，使得OP PA 0，则椭圆离心率的范围是_答案 2221上存在点P ，使OP PA 0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点以OA 为直径的圆的方程为x 2ax y 20与椭圆方程b 2x 2a 2y 2a 2b 2联立消去y 得(a 2b 2)x 2a 3x a 2b 20，将a 2b 2c 2代入化为(x a )(c 2x ab 2)0，x a ，x ab 2c 2，由题设ab 2c 2c222，01长轴的左、右端点，点F
