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1、二次函数的最值问题(中考题)(含答案)典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验 周前猛一、选择题1 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 1，则a 与b 之间的大小关( )A. aB.a=b C ab D 不能确定 答案：C2当2xl 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A 、- 74B 、C 、 2或D 2或或- 74 答案：C当2xl 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，二次函数在2xl 上可能的取值是x=2或x=1或x=m.当x=2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2765y x 41
2、6=-+ 此时，它在2xl 的最大值是 6516，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在2xl 的最大值是4，与题意相符.当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在2xl 的最大值是4，与题意相符；当，2xl 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m 的值为2或.故选C 3 已知0x12，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C解：y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2该抛物线的对称轴是x=2，且在x2上y
3、随x的增大而增大又0x12，当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5故选：C4、已知关于x的函数.下列结论：存在函数，其图像经过（1,0）点；函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；根据二次函数的增减性，即可作出判断；当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k0时，函数为抛物线，求出顶点的
4、纵坐标表达式，即可作出判断.解：真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0运用方程思想；假，反例：k=0时，只有两个交点运用举反例的方法；假，如k=1，b5-=2a4，当x1时，先减后增；运用举反例的方法；真，当k=0时，函数无最大、最小值；k0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，当k0时，有最小值，最小值为负；当k0时，有最大值，最大值为正运用分类讨论思想二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形
5、两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.S= x(8-x)(0=- (x-4)2+8当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.-的最大值与最小值分别是3、函数y=2（0x4）答案：2,0最小值为0，当4x-x2最大，即x=2最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a （0x1）的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0x 1时y 随
6、x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0. 5、如图，在ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本； 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件
7、产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本） 解：（1）()x -150 ()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160-x 解得2.0x 而0 x ，2.00x而()()2150160x x y -=1040502+-x x()184.0502+-x 当4.0x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00x ，当2.0=x 时，y 最大值18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，
8、二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。 2、如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（xh）2+k顶点C的横坐标为4，且过点（0，）y=a（x4）2+k，=16a+k又对称轴为直线x=4，图象在
9、x轴上截得的线段长为6A（1，0），B（7，0）0=9a+k由解得a=，k=二次函数的解析式为：y=（x4）2（2）点A、B关于直线x=4对称PA=PBPA+PD=PB+PDDB当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点MPMOD，BPM=BDO，又PBM=DBOBPMBDO点P的坐标为（4，）（3）由（1）知点C（4，），又AM=3，在RtAMC中，cotACM=，ACM=60，AC=BC，ACB=120当点Q在x轴上方时，过Q作QNx轴于N如果AB=BQ，由ABCABQ有BQ=6，ABQ=120，则QBN=60QN=3，BN=3，ON=1
10、0，此时点Q（10，），如果AB=AQ，由对称性知Q（2，）当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是（4，），经检验，点（10，）与（2，）都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使QABABC点Q的坐标为（10，）或（2，）或（4，）3、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C-，三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标解：（1）该抛物线
11、过点C（0，-2），可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，此抛物线的解析式为；（2）存在，如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为，当1m4时，AM=4-m ，COA=PMA=90，当时，APMACO，即4-m=2 ，解得m1=2，m2=4（舍去），P（2，1）；当时，APMCAO，即，解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去），当1m4时，P（2，1），类似地可求出当m4时，P（5，-2），当m综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；（3）如图，设D点的横坐标为t（0t4），则D 点的纵坐标为，过D作y 轴的平
12、行线交AC于E，由题意可求得直线AC 的解析式为，E 点的坐标为，当t=2时，DAC的面积最大，D（2，1）。4如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EGAD，FHBC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，AGE与CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值5如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N(1)求证：MNAB；(2)若AB的长为l0cm，当点C在线
13、段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由（1）由题中条件可得ACE DCB ，进而得出ACM DCN ，即CM=CN ，MCN 是等边三角形，即可得出结论；（2）可先假设其存在，设AC=x ，MN=y ，进而由平行线分线段成比例即可得出结论 解答（1）证明：ACD 与BCE 是等边三角形，AC=CD ，CE=BC ，ACE=BCD ，在ACE 与DCB 中，AC=CDACE=BCDCE=BCACE DCB （SAS ）， CAE=BDC ，在ACM 与DCN 中，CAE=BDCAC=CDACM=DCNACM DCN ，CM=CN ，又MCN=180-60-60=60，MCN 是等边三角形，MNC=NCB=60即MN AB ； （2）解：假设符合条件的点C 存在，设AC=x ，MN=y ， 6、如图，在ABC 中，A 90=，10=BC , ABC 的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE BC ，交AC 于点E 设x DE =以DE 为折线将ADE 翻折，所得的DE A 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.（1）用x 表示ADE 的面积;（2）求出0x 5时y 与x 的函数关系式；（3）求出5x 10时y 与x 的
