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1、定理5.1 在群中左消去律和右消去律成立，即，如果，则必有；如果，则必有。定理5.2 在群中，方程与有唯一解。 定理5.3 在群中单位元和逆元是唯一的。 定理5.4 在群中，则有1. ；2.。定理5.5 设是群，如果，则。定理5.6设是群，如果，则，且互不相同。定理5.7设是群，如果，则，其中表示的最大公约数，表示的最小公倍数。定理5.8设是群，如果，且，则。定理5.9设是群，则。定理5.10 设是群，则。定理5.11 设是群，则，类似地有。 定理5.12 设，则1. ； 2. 。 定理5.13 (Lagrange 定理)设是有限群， 则。定理5.14 设是群，是的有限子群， 则。定理5.15
2、设是群，则下列事项等价：1. ；2. ，；3. , ；4. , 。证明： 13：假设N是不变子群，那么对于G的任何a来说，aN=Na，这样aNa-1=（aN）a-1=Naa-1=Naa-1=Ne=N假如对于G的任何a来说，aNa-1=N，那么 Na=（aNa-1）a=aNa-1a=aNe=aN，所以N是不变子群，证完。 24：现任取cNa，则存在ba，使得c=aba-1,则cN,因此NaN.:设任意aG, NaN,则任意bN，aba-1Na，因此，aba-1N，综上任意aG，bN，有aba-1N。 12：这个条件是必要的，是定理的直接结果，我们证明他也是充分的。假设这个条件成立，那么对于G的任
3、何一个元a来说，(1) ana-1N，这样，因为a-1也是G的元，我们有a-1NaN，a（a-1Na）a-1aNa-1(2) NaNa-1,由(1)和(2)因而由13，N是不变子群。定理5.16 循环群的任一子群必是循环群。循环群必是交换群。定理5.17 任意的一个轮换都可以写成若干个不相交的对换的乘积。定理5.18 在环中，0和1分别是零元和乘法单位元。对于中元素，有1.；2.，特别地，；3. ，特别地，；定理5.19 域是整环。定理5.20 设是从到的群同态映射，则1. 是群的正规子群；2.为单射当且仅当。定理 5.21 设是从到的群同态映射，则。定理5.22 循环群要么与同构，要么与同构。定理5.23任意一个群都与一个置换群同构。定理5.24 设是从到的环同态，和分别是和的零元，则1. ；2.若，则；3.若为可逆元，则为的可逆元。定理 5.25 设是从到的环同态映射，则是的理想，且。
