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1、储油罐的变位识别与罐容表标定组员： 摘要通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。问题一中的任务一要求我们求出小椭圆型储油罐中无变位时油罐的体积理论表达式和体积关于油位的估计表达式。由于油罐内的油占据的空间形状为一个底面不规则的平顶柱体，我们用积分的知识对油所在的椭圆柱体部分进行积分，我们就可以得到油罐内理论的油体积关于油高度的函数表达式： ，将附表一中的油位高度的数值代入上式，我们就可以得到相对应的理论油体积。再用实测油体积和油高度这两组数据通过Matlab软件画出离散图形，并
2、用曲线进行拟合，即得到油罐内油的体积关于油位高度的估计表达式： ，然后画出实测油体积和理论油体积分别关于油高度的离散图像，我们发现对应于相等的油高度，实测油体积总是比理论油体积要高。问题一中的任务二要求我们建立数学模型研究罐体倾斜角为的纵向变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为5cm的罐容表标定值。因为小椭圆型储油罐的截面不是规则的几何形体，所以我们把这个罐内油体积关于油高度的理论表达式分成低油位、正常油位和高油位三种情况，将附表一中倾斜变位时的油高度代入我们得到的理论表达式得到理论的油体积，再与实测的油体积相比较，用拟合图像的方法，对理论数据进行处理，修正了某些系统误差的影响，
3、进而改进了罐内油体积关于油高度的函数关系式，计算出罐体变位后油位高度间隔的罐容表的标定值。问题二要求对于实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型。根据建立的数学模型确定变位参数a和b，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。由于实际储油罐内没油的高度不同，我们分成五种情况进行讨论，建立积分公式，得出罐内油体积与油位高度及变位参数（纵向倾斜角和横向偏转角），并运用最小二乘法,建立非线性规划模型,用Matlab非线性规划求解得出使得的函数关系式，利用所给的实验数据，总体误差最小的与值：=2.2，=4.1。通过与的数值计算出出油量理论值与实测值的平均相对误差小于0.5% 。关键词
4、：储油罐；变位识别；积分；罐容表标定；非线性规划一、问题重述本文主要研究储油罐的变位识别与罐容表标定问题，分别以小椭圆型油罐和实际卧式储油罐为研究对象，运用高等数学的积分的知识，分别建立罐体变位前后罐内油体积与油高读数之间的积分模型。要求我们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 问题一：为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。任务一：求图中无变位时油罐体积理论表达式，利用附件1的数据求体积关于油位的估计表达式，并作比较。任务二：建立数学模型研究罐体倾斜角为a=4
5、.10的纵向变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为5cm的罐容表标定值。问题二：对于实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。 问题三：详述：当原本无变位的油罐突发轻度地震时，如何快速确定罐体有没有较明显变位。二、问题的分析本文研究罐容表的读数与储油罐的变位的关系。借助高等数学积分的
6、方法，求出储油量与油高读数的函数关系式，并对倾斜的储油罐进行容量标定。问题一的分析： 任务一：问题中要求油罐无变位时其体积的理论表达式，即罐内油体积关于油高度的理论表达式。首先我们讨论当小椭圆型储油罐平放时罐容标定，此时，罐内油面与油罐的母线保持平行，油面离油罐底边母线的最深垂直距离，即为油浮子所测油面高度，即油罐内的油占据的空间形状为一个底面不规则的平顶柱体。利用数学中的积分知识，我们可以把这不规则的立体图形的体积算出来，随着油高度的变化，油体积也在不断改变，因此我们可以得到油罐内油体积关于油高度的理论表达式。附件1中已知无变位时的进油量和油罐内的初始油量以及原罐内初始油量加入相应油量后油位
7、高度值，我们可以知道油罐内一定的油高度对应的实际油体积是多少，再将实际油体积和油高度这两组数据用Matlab软件画出离散图形，并用曲线进行拟合，找一条适当的拟合曲线就可以得到油体积关于油高度的估计表达式。由已知的油高度用理论表达式来算出理论的油体积，将这些体积与实测的油体积进行比较。任务二：该题是研究罐体倾斜角为的纵向变位后罐内油体积关于油高度的理论表达式，我们假想着往这个倾斜的罐内慢慢加油，发现这个罐内油体积关于油高度的表达式要分成三种情况，用积分的知识写出每种情况的表达式，再通过函数关系式计算出理论值，再与所给的实际值相比较，得出其相对误差，然后通过分析系统误差进行修正，得出罐体变位后油位
8、高度间隔为的罐容表的标定值。问题二的分析：问题二中是以实际储油罐为研究对象，为了把问题简单化我们将储油罐的纵向倾斜和横向偏转分开进行讨论，在考虑纵向倾斜时，我们将它分成如图1所示的三部分，分别算出每部分的体积与罐容表读数的函数关系式，然后合并，求出整个油罐体积与罐容表读数的函数关系式。考虑横向偏转时，我们建立了油罐体积与所给的油高的函数关系式。然后将纵向倾斜和横向偏转进行综合考虑得出变位后罐容表读数与储油罐内油体积的函数关系式，通过关系式和所给数据，运用最小二乘法，在MATLAB软件上，得出和的最小误差解，再对模型的稳定性和正确性进行评定，最后给出高度间隔10cm的罐容表的标定值。三、基本假设
9、1.忽略温度、压力对汽油的密度的影响。2.储油罐在偏移的过程中，油位探针始终与油罐底面垂直。3.忽略储油罐由于长时间使用而引起的形状的变化。4.假设油位探针始终能够测出油位高度四、符号说明符号解释说明体积面积对应于罐容表读数的液面实际高度球冠中与油罐圆柱左侧底面距离为x处的油高球冠中与油罐左侧底面相距为x处的小圆半径球冠中与油罐圆柱右侧底面距离为x处的油高球冠中与油罐右侧底面相距为x处的小圆半径储油罐圆柱部分的底面半径用于分析的油量进出数据椭圆长半轴长椭圆短半轴长罐容表读数小椭圆型油罐中与油罐左侧底面相距为x处的油面高度五、模型的建立与求解5.1 根据图1建立罐体变位后对罐容表的影响的模型(b
10、) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图1 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图5.1.1 模型一的建立5.1.1.1 无变位时油罐体积理论表达式首先由图2可知，即 . (5.1.1)xy0图2 椭圆切面我们采用了微积分来求椭圆切面面:椭圆切面上油的面积微元为 ， （5.1.2）所以图2中阴影部分面积为： ， （5.1.3）所以 ， （5.1.4）代入得： ， （5.1.5）求解得： ， . （5.1.6）设为当油罐无变位时的油位高度（如图3所示），图3 油罐无倾斜时示意图所以，即 ，（5.1.7）因为，
11、即，取，所以油罐体积关于油位的表达式为： ，（5.1.8）即上式就是无变位时油罐内油的体积关于油位高度的理论表达式。其中，当时，整个油罐体积为： . （5.1.9）5.1.1.2 求体积关于油位的估计表达式我们利用附件1中无变位时的原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值来做出油罐内油的体积关于油位高度的离散图：图4 油罐内油的体积关于油位高度的图像其中Y表示油罐内油的体积（单位：L），X表示油位高度（单位：mm）。 再利用Matlab软件对这些离散点进行拟合，我们得如下拟合曲：图5 油的体积的拟合曲线通过多次的拟合观察，我们将上述曲线写成如下形式： . （5.1.10）由程序运行的结果我们可以
12、得到上述表达式中的各参数的值：， .即我们可以得到油罐内油的体积关于油位高度的估计表达式： . （5.1.11） Matlab程序运行显示该多项式拟合度达到了1，图4中的离散点几乎与多项式（5.1.11）完全吻合。 5.1.1.3 比较无变位时油罐体积理论表达式和体积关于油位的估计表达式 我们利用无变位时油罐内油的体积关于油位高度的理论表达式计算出每次加入一定量的油后油位的高度值，并利用Excel分别做出了理论的和实测的油体积与油高度的离散图，如下图6：图6 油体积关于油高度的离散图 根据上图所示，蓝色的离散点表示附录一中的每次加入一定量油后罐内的总体积Y和原罐内初始油量加入相应油量后油位高度
13、值X，而红色的离散点表示原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值X和根据理论公式计算出的油罐内油的总体积Y。我们发现同种颜色的离散点组成的图形接近于两条曲线，并且他们非常的靠近，但是对应于相同的油位高度，由理论表达式算出的油体积稍微比实测的油体积要大一点。5.1.2 模型二的建立5.1.2.1 计算未变位和变位的理论罐内油位高度与储油量的关系由（5.1.7）已知当储油罐无倾斜时它的理论体积公式为：当油罐发生纵向偏转时，油罐中油所占空间为一倾斜柱体，如图7所示：0.4油位探针 图7 油罐偏移示意图 如图7所示，根据几何关系可知， ， （5.1.12）又根据油面的高度不同，可分为以下三种情况： 情况一：低油位油位探针图8 情况1：低油位若油面位于图8所示位置，则：，所以 ， （5.1.13）所以，（5.1.14） 情况二：正常油位油位探针图9 情况2：正常油位若油面位于图9所示位置，则：， （5.1.15） 情况三：
