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1、不等式及其性质（提高）知识讲解撰稿：孙景艳责编：吴婷婷【学习目标】1了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“”、 “”、“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式用“” 表示不等关系的式子也是不等式要点诠释：(1)不等号“”或“”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大 (2)五种不等号的读法及其意义：符号“”“”“”“”“”读法读作“不等于”读作“小于” 读作“大于” 读作“小于或等于”读作“大于或等 于”意义它
2、说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪 个大，哪个小表示左边的量比右边的量小表示左边的量比右边的量大即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如 34，-1-2；有些不等式中含有未知数，如 2x5 中， x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合 不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立知识点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集要点诠释：不等式
3、的解不等式的解集是具体的未知数的值，不是一个范围 是一个集合，是一个范围其含义： 解集中的每一个数值都能使不等式成立； 能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范 围，这个范围可用最简单的不等式来表示如：不等式 x-26 的解集为 x8(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个 解如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两 个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界
4、点不是不 等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点 a 而言，xa 或 xa 向右画；对边界 点 a 而言，xa 或 xa 向左画注意：在表示 a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点【高清课堂：一元一次不等式 370042 不等式的基本性质】知识点三、不等式的基本性质不等式的基本性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 用式子表示：如果 ab，那么 acbc不等式的基本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或a bc c)不等式的基本性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变
5、用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或a bc c)要点诠释： 不等式的基本性质的掌握应注意以下几点：(1) 不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条 性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会(2) 运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质 2 和性质 3 的区别，在乘(或除 以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变 【典型例题】类型一、不等式的概念1有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5 克、小砝码皆为 1 克，且 下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形判断下列正确的情形是 (
6、)【思路点拨】根据图示可知 1 个糖果的质量5 克，3 个糖果的质量16 克，依此求出 1 个 糖果的质量取值范围，再在 4 个选项中找出情形正确的【答案】D【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于 5 克，由图(2)知：3 个糖果的重量小于 16 克，即16 32 2每一个糖果的重量小于 克故 A 选项错；两个糖果的重量小于 =103 3 3克故 B 选项错；16 64 1三个糖果的重量大于 15 克小于 16 克故 C 选项错，四个糖果的重量小于 4 = =213 3 3克故 D 选项对【总结升华】观察图示，确定大小本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结 合思想，解决问题的
7、基本思路是根据图示信息列出不等式举一反三：【变式】【答案】类型二、不等式的解及解集2.若关于 x 的不等式 xa 只有三个正整数解，求 a 的取值范围.【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定 a 的范围【答案】3a4【解析】解：不等式 xa 只有三个正整数解，三个正整数解为：1，2，3，3a4，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数 解3.如图所示，图中阴影部分表示 x 的取值范围，则下列表示中正确的是( )A-3x2 B-3x2 C-3x2 D-3x2【思路点拨】x 表示-3 右边的数，即大于-3，并且是 2 以及 2 左边的数，即小于
8、或等于 2 的数【答案】B【解析】解： A、因为-3x2，在数轴上-3 的点应该是实心的圆点；C、 因为-3x2，在数轴上-3 和 2 的点应该都是实心的圆点；D、 因为-3x2，在数轴上-3 和 2 的点应该都是空心的圆点；故选 B【总结升华】在数轴上 表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要 用空心圆点表示，“”，“”向右画；“”，“”向左画举一反三：【变式】根据如图所示的程序计算，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值为_2 22 2【答案】4提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为y =2 x 2 -4把 x1 输入求值，若求得的结果大于 0，则直接得到输出值 y
9、；若求得的结果小于 0，则需要把得到的结 果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于 0 为止类型三、不等式的基本性质3x +y =1 +a4.若关于 x、y 的二元一次方程组 x +3 y =3的解满足 x+y2，则 a 的取值范围是_【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出 x+y 的值因为 x+y2， 故可以构建关于 a 的不等式然后利用不等式的性质就能求出 a 的取值范围【答案】a4【解析】解：将两方程相加得：4x+4y4+a将方程的两边同除以 4 得x +y =4 +a4依题意：4 +a42将不等式的两边同乘以 4 得 4+a8将不等式的两边同时减去 4
10、得 a4故 a 的取值范围是 a4【总结升华】解关于 x 的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为 xa 或 xa 的形式， 化简的依据是不等式的性质举一反三：【变式 1】关于 x 的不等式 axb 的解集是x ba，那么 a 的取值范围是 ( )Aa0 Ba0 Ca0 Da0【答案】B提示：解不等式 axb 时，两边同时除以 a，不等号的方向改变了，根据不等式的性 质 3，可知除以的是一个负数，即 a0故应选 B【高清课堂：一元一次不等式 370042 练习 3】【变式 2】a、b 是有理数，下列各式中成立的是( )A若 ab，则 a b ； B若 a b ，则 abC若 ab，则a|b| D若a|b|，则 ab【答案】D
