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1、专题讲座高中数学总复习研究谷丹 北京四中 一、 对高中数学总复习任务的理解高中数学总复习阶段，教师们通常需要完成两类既相互关联又有所区别的任务：指导、帮助学生进行数学知识内容的复习、训练工作，我们可简称为“学习任务”；根据不同学生的学业水平与心理特点，帮助、指导学生调整心理状态，提高在高考正常发挥水平的可能性，我们可简称为“心理辅导任务”.我们可以通过对“学习任务”、“心理辅导任务”更为具体、细致的分析，更为深入地理解这两项任务，进而选择、确定实现这两项任务的策略.（一） 对学习任务的理解与高中数学新内容的学习过程相比，高中数学总复习阶段的数学学习，既有与前者一致的共性，也有其独有的个性.1、
2、从数学知识与思想方法看：高中数学总复习的教学目标有“新”有“旧”.所谓“旧”，主要是指总复习中所涉及的知识与方法，大部分皆为前期已经学习与应用过的，所谓“新”，则主要是指我们的复习过程并不是将以往的学习过程再简单的重复一遍，而是要指导学生更为关心数学具体知识与方法在数学体系中的地位与联系，更为深入、深刻地体验这些知识与方法的价值，在综合性更强、能力要求更高的问题情境中准确、灵活地应用这些知识与方法.2、从学生的认知特点看：高中数学总复习与以前的数学学习相比，可以类同于认知过程信息处理的“提取”与“录入”过程.前期的数学学习，学生主要的学习任务，可类同于信息的“录入”过程，学生逐个循序渐进地学习
3、新知识、新方法，将这些知识方法嵌进认知结构中，即使在平时的练习与测试中需要将其“提取”出来加以应用，也往往是在相对明确、狭小的指定范围内实行.高中数学总复习，学生主要的学习任务，更类同于能核验、校正、完善先期“录入”于认知结构中的信息，同时建立与优化信息的检索方式与系统，以便在综合性、灵活性更强的问题情境准确、快捷地“提取”出来，解决问题.3、从高考应试要求看：以准确、敏捷“再现”复习内容为主，灵活创新为辅.“再现”为主，使得我们有可能在对考察内容有针对性、有效率的重复训练中，指导学生不断提高自我审视、优化、校正自己分析问题、解决问题的过程的意识与能力，从而有效提高数学学业水平与应试成绩.基于
4、上述认识，我们将高中数学总复习任务概括为“程序”、“系统”、“自检”.在高中数学总复习过程中，我们将带领、指导学生逐个梳理高中阶段习得的知识方法，特别应注意指导学生按照一定的思考与表达程序完成应用这些知识方法解决问题的过程.同时，要通过帮助学生理解、把握具体知识方法之间的关联，指导学生逐渐建立、优化分析问题、解决问题的知识与方法系统，使学生在解决具体问题时，能识别需解决问题的类型，能在系统中选择比较适当的解决问题的办法.我们还要帮助学生提高在解决问题过程中自我检查的意识与能力，以提高解题过程的准确性与简捷性.（二）对应试心理辅导任务的理解与以前相比，高中数学总复习阶段学生的心理环境、学习过程中
5、对心理素质的要求，也有同有异，这也就决定了我们的心理辅导任务与前期学习阶段相比，也有同有异.其中最基本也是最重要的差别可以从下列三个角度概括分析.1、复习过程：高中数学总复习阶段学习内容，特别是大部分数学基础知识与基本方法，都是“旧”的，每天的学习时间和持续的复习日期均相当长，且主要内容需要反反复复“打磨”，这对学生的耐久性与意志力都有很高的要求.2、应试状态：高中数学总复习阶段，各种各样的测验、考试大量增加，学生也往往希望通过考试分数来判断自己学业水平提高的程度，特别是到高中数学总复习阶段的后期，各类比较重要的检测成绩，也是学生确定升学目标的基本依据.因此，高中数学总复习阶段对学生的耐挫能力
6、要求比较高，也对学生自我评价、自我调控能力要求很高.3、高考心态：对大多数高中数学总复习阶段考生而言，高考成绩都有着 “一锤定音”的效果，无论是升学、复读还是其他的发展路径，高考成绩都是做出选择的重要依据.大多数学生总会期待经过长时间的高中数学总复习阶段，能够在高考那两三天内正常发挥，考出理想的成绩.因此，高考阶段，对学生心理上的应激能力是个考验，同时，也要求我们在平时要能够帮助与指导学生有效提高学生的应激能力.基于上述认识，我们对高中数学总复习阶段的心理辅导任务概括为“目标”、“策略”、“训练”.在高中数学总复习阶段，我们要帮助、指导学生分阶段确定复习与应试目标，选择适合于自己的学业水平与心
7、理特点的应试策略，并通过有效的自我训练，将这些应试策略应用到考试中去.二、落实学习任务的教学策略我们在高中数学总复习阶段落实学习任务的教学策略，可概括为优化“程序”、完善“系统”与强化“自检”.（一）优化“程序”在高中数学总复习时，经常会遇到学生对以前习得的知识、方法记忆不完整，理解不准确，表达不规范的情况，我们应该通过复习，帮助学生建立、掌握准确、规范、全面地思考与表达应用数学知识方法的规定途径，即建立与掌握解决具体数学问题的思考与表达的程序.1程序的构建程序的构建，要能体现对数学知识方法的准确、完整的理解和对数学思想方法的有效应用.比如，遇“函数”问题，基本思考的程序为：“考虑两个要素、比
8、较两种工具”，“两个要素”即定义域与对应法则，“两种工具”即数学符号语言与数学图像（形）语言.这样的程序，能比较有效地帮助学生克服只关注函数解析式、忽视定义域的思维缺憾，也有利于帮助学生增强应用数形结合的方法解决问题的意识与能力.再如，遇函数最值问题时，表达的程序一般是先说明自变量的取值，再写出因变量的取值，这样的要求，体现了函数概念中自变量通过函数对应法则确定唯一的因变量取值的基本思想.2程序的内容程序的内容，应尽可能突出共性，不要太琐碎、零散，以便更有利于学生记忆、把握和有效应用.比如，我们可以将对（含字母系数的）二次函数、三角函数等常见初等函数在有限区间上的单调性讨论问题，和利用导数对有
9、限区间上函数的单调性讨论问题的程序统一为：（1）确定（在自然定义域上）函数的单调性改变点，（2）分类讨论这些单调性改变点与指定定义域的关系，（3）在各类情况中，指出在指定定义域内函数的单调区间.当然，在（1）、（2）的讨论中，可进一步按照不同类型函数单调性讨论的程序，思考并规范表达解决问题的具体过程.再如，函数图像变换问题，对学生而言，记忆、掌握单一的图像变换并不是很困难，但在对函数图像连续施行变换（如对图像进行平移、伸缩、对称等复合变换）时，却常常会出错，这主要是缘于学生将单一变换的结论误用于复合函数所致，为帮助学生避免出现此类错误，我们要求学生在遇到复合变换问题时，思考与表达的程序为，逐一
10、写出每一步变换与前一步（变换后）函数表达式之间的变量变换关系、函数解析式，必要的时候，还应画出变换前后相邻两个函数的图像.例如，由变换为的过程，可以程序化地表达为亦可表示为这样的程序，既可以帮助学生认清每一步变换的类型，又能够帮助学生准确、明晰地看清每一步变换前后函数解析式的变化，从而准确快捷地完成复合变换过程.（二）完善“系统”在高中数学总复习时，遇到综合性比较强的题目，学生往往会出现学过的方法想不起来用，或者同时想起多种方法，却无法判定哪个方法对解决当下的具体问题最简捷有效的情况.我们应该在逐一指导学生把握解决具体问题的程序的同时，将各种程序按一定秩序和内在联系组合成具有明晰特征和特定功能
11、的整体，即将数学知识方法思考与表达的程序整合成解决问题的方法系统，以帮助学生更好地识别具体问题的类型，比较解决此问题各种可能方法的优劣，选择较简捷、易操作的方法解决问题.1. 要以问题为线索构建系统.一般来说，学生遇到问题，往往比较容易根据题目的主要信息判断这是哪一知识板块的问题，如该问题主要是函数、解析几何还是数列等等问题；也比较容易根据题目的要求判断是该板块哪一类型的问题，如在确定了题目为解析几何问题后，可根据题目要求确定是求轨迹、求已知曲线的系数，还是求指定变量或参数的取值范围问题等等.将解决问题的方法体系按“问题”构建系统，更有利于学生根据题目信息“检索”与“提取”认知结构中解决问题的
12、知识方法程序.2. 要以有效思考为基础刻画系统的结构.所谓“有效思考”，就是希望我们方法系统的结构，能够按照比较有利于检索到解决问题的最佳或较佳方案来建立.比如，遇到计数问题，我们可以考虑是否可用（1）排列组合中的特殊方法，如“相邻问题”的整元法，“不相邻”问题的插空法等等，（2）排列组合的一般方法，如直接法中的特元法或特位法，间接法中的排除法，（3）枚举法，如树状图，列举归纳等等.其中，（1）、（2）、（3）为依次顺序考虑，可称之为串联系统，（1）、（2）、（3）中每个具体方法，则要根据题目的信息并列考虑，选择最佳解决问题的办法，可称之为并联（子）系统.再如，遇到函数求值域问题，我们可以顺序
13、判断是否（1）常见初等函数，如：可变形转化为一次函数、反比例函数、二次函数、幂指对函数、三角函数与三角型函数等等初、高中课程中研究过的函数，我们可以直接利用这些函数的代数或图像性质解决问题；（2）通过换元的办法，将函数转化为（1）中列举的常见初等函数；（3）用导数讨论函数值域；（4）其他（如数形结合等）研究方法处理.由上述实例可知，方法系统的结构，可以包涵多个串联或并联子系统，亦可以包涵循环子结构，无论如何刻画方法的系统，最主要的考虑就是要有利于学生全面检索到最佳解决问题的办法.在指导学生理解、应用方法系统时，要帮助学生理解、把握系统中各部分的数学特征和相互关系，提高识别各部分在系统中位置的能
14、力，在感到选择方法比较困难的具体问题时，增强按串联（子）系统检索解决问题办法的意识，提高根据数学特征比较并联（子）系统中选择适当方法解决问题的能力，提高对循环（子）结构的识别能力和应用循环子结构变形转化问题的能力.3. 要基于对数学内容与思想方法不断深入的理解与提炼，不断优化系统中方法的筛选与表达.从上述构建系统的实例可知，系统构建方法不是唯一的，随着教育教学改革的不断推进和教学内容的不断变化更新，随着我们对数学基本思想方法越来越深入的理解把握，我们的方法系统也必然是一个动态的、不断优化完善着的开放的系统.“优化完善”的过程中，我们将不断选用更有指导性的语言刻画系统中的每一个部分，不断结合对解
15、决数学问题的思维过程的认识规律调整系统中各部分的关联，不断根据教学要求、教学内容与方法重点、难点的变化增删系统中的内容，使之更有利于学生检索、提取、使用.比如，解析几何中求指定变量或参数的取值方法非常繁多，我们可以将解决问题的方法系统归结为：（1）根据题目中信息，考虑是否可直接利用各类曲线定义解决问题，（2）分析题目中图形位置关系与数量关系，考虑是否用平面几何知识与数形结合方法解决问题，（3）考虑用多参法解决问题，基本原则为n个未知数，布列n个独立方程；在布列方程时，比较翻译已知条件的各种公式与方法，选择简便办法.这个系统中，（1）、（2）、（3）为串联顺序结构，这样的顺序排定，主要基于两个方
16、面的考虑，首先，解析几何的基本问题，就是几何问题代数化和代数问题几何化，解决问题的办法，也就必然涵盖了几何方法（如（1）、（2）和代数方法（如（3），其次，将几何方法置于代数方法之前考虑，主要是因为几何方法与代数方法相比，往往更为直观简捷，计算量小.在（1）、（2）、（3）内部，特别是在（2）与（3）中，有各种并联结构，取决于题目的条件与哪些数学内容相关联.我们可以用两个具体实例来说明应用这一系统的具体方法.例如，北京市2010年高考理科数学第19题第3问：点在椭圆上，椭圆上是否存在点P，使？（其中点N、M分别为AP、BP的延长线与直线L：的交点.）以前述方法系统解决问题，比较容易判断，方法（1）不适应.考虑方法（2），如右图示，如果意识到点A、B的横坐标为-1、1，AB延长线与直线x=3的交点T的横坐标为3，则比较容易发现，点B为线段AT的中点，NB为ATN的中线，结合三角形的
