高等概率论习题.docx

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1、高等概率论习题篇一：概率论 概率论与数理统计(工科) 练习题四 一. 填空题(共10小题,每题2分,共计20分) 1. 设A与B是随机事件，已知P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(B)?0.8，则 P(A?B)? . 2. 随机事件A1,A2,A3,A4相互独立，且P(Ai)?1(i?1,2,3,4)，则 i?2 P(A1?A2?A3?A4)? . 3. 设随机变量X的概率分布律为 X -1 012 p 0.1 0.3 0.2 0.4 2则PX?1?4. 设离散型随机变量X服从参数为?(?0)的泊松分布，且已知 P(X?3)?P(X?2)，则?= . 5. 设随机变量X服从正态分布N(2,

2、?2)，且P2?X?4?0.3，则 PX?06. X为随机变量,且E(X)?1,D(X)?3,则E4(X2?2)?_. 27. 设二维随机向量(X,Y)，已知D(X)?4,D(Y)?9,?XY?，则 3 cov(X,Y)?. 8. 已知总体XN(?,?2),X1,X2,?,Xn是来自正态总体X的样本，记 2nSn1n2S?(Xi?)，则2ni?1?2 n ?xa?1,0?x?1,9. X1,X2,.,Xn是来自总体X? (?0)的样本，则其似然?0,x?0,x?1 函数L(x1,x2,.,xn;?)?_. 10. X1,X2,?,Xn是来自正态总体XN(?,?2)的一个样本，当?未知时，?2的

3、置信度为1?的置信区间为 . 二. 选择题(共5小题,每题2分,共计10分) 在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分. 1. 设A与B为两个事件，0?P(A)?1，且P(A)=1，则（ ）一定成立. （A）P(AB) = 0；（B）AB?； （C）B?A； （D）P(B) =1. 2. 某人打靶的命中率为0.8，独立射击5次恰好命中两次的概率为（ ）. 22（A）0.82?0.23；（B）0.82； （C?0.82?0.23； （D）C5?0.82?0.23. 5 3. 设随机变量XN(1,1)，其概率密度为f(x)，分布函

4、数为F(x)，则有（ ） （A）PX?0?PX?0?0.5； （B）f(x)?f(?x)； （C）PX?1?PX?1?0.5；（D）F(x)?1?F(?x). 14. 已知随机向量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)?2e?x2?(y?1)2 ，则（ ） （A）(X,Y)服从指数分布；（B）X与Y不独立； （C）cov(X,Y)?0；（D）X与Y相互独立. 5. 已知FF(n,m)，且PF?F?(n,m)?，则F1?(n,m)?（ ） （A）1111； （B）；（C）；（D）. F?(n,m)F1?(m,n)F?(m,n)F1?(n,m)三. 计算题(共5小题,每题8分,共计40分) 1. 某

5、工厂有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品中，不合格品各占5%，4%，2%，现从该厂的产品中任取一件恰是不合格品，问此不合格品是机器甲生产的概率是多少？ 2. 设随机变量X的概率分布律为 X 1 234 p 1/15 2/5 1/5 b （1）确定b的值；（2）求分布函数F(x)；（3）求P2?X?4 ?ax?b3. 已知随机变量X的概率密度函数f(x)?00?x?17，且E(X)?。 12其他 （1）求常数a,b；（2）求X的分布函数F(x)；（3）求D(X)。 4. 公共汽车的车门高度是按男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的，设男子的身高X

6、服从正态分布（单位：cm），已知男子平均身高为170 cm，标准差为6 cm。求车门高度至少应设计为多少？ （?(1)?0.8413，?(2.33)?0.99,?(2.58)?0.995） 5. 设随机变量X与Y相互独立，且其密度函数分别为 ?2?x2e?fX(x)?00?x?其它?2?y2e?，fY(y)?00?y?其它， 求Z?X2?Y2的密度函数。 四. 应用题(共3小题,每题8分,共计24分) 1. 某种电池的寿命（小时）服从均值为100的指数分布，某人购买了100只这 ?(1)?0.8413 种电池。求他购买的100只电池的总寿命超过11000小时的概率。 2. 设一部机器在一天内发

7、生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障可获利润0万元；发生三次或三次以上故障亏损2万元。求一周内期望利润是多少？ 3.某企业生产的高温杀菌牛奶标注每盒含钙110毫克，现质检局从市场抽查了该企业生产的这种牛奶20盒，测得每盒含钙量的平均值x?110.65，样本方差S2?6.0552，已知牛奶的含钙量服从正态分布，问该企业生产的这种牛奶的含钙量是否与其标注一致？(?=0.01). (t0.005(19)?2.861,t0.005(20)?2.845,?(2.33)?0.99,?(2.58)?0.995) 五

8、. 证明题(共1小题,每题6分,共计6分) 设随机变量X的密度函数f(x)为偶函数，其分布函数为F(x)，试证：对任意实 a1数a，有F(?a)?f(x)dx。 20篇二：概率论 回顾概率论与数理统计第一章 展望第二章 一旅七队 李强 1302021059 通过开学至今对概率论与数理统计第一章的学习，我明白此门学科是研究随 机现象规律性的一门数学学科，它也是各种工科专业，尤其是经济管理等各专业 的一门基础理论课。本课程是由概率论和数理统计两部分组成。概率论是丛数量 上研究随机现象的规律性，它是本课程的理论基础。数理统计是研究处理随机数 据，建立有效的统计方法，进行科学的统计推断。通过本课程的学

9、习，使我们掌 握概率论与数理统计的基本概念与方法，从而使我们初步掌握处理随机现象的基本思想与方法，培养我们运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 第一章的主要内容为：随机事件及其概率，重点讲述古典概型的定义（概念） 及相关问题的处理与解决方法还有条件概率与其独立性。 有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。例如：掷一次硬币的实 验（质地均匀的硬币），只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认 为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可 能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行 抽样检验，也属于这个模型。是概率论中最直观和最简单的模型；概率

10、的 许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。一个试验是否为古典概型， 在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同 时具备这两个特点的概型才是古典概型。其特点可以概括为： 1、 实验的样本空间只包括有限个元素； 2、 具有以上两个特点的实验是大量存在的，这种实验叫等可能概型，也叫古 典概型。 求古典概型的概率的基本步骤为： （1）算出所有基本事件的个数n； （2）求出事件A包含的所有基本事件数m； （3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。 条件概率是指在同一个样本空间 中的事件或者子集 A 与 B，如果随机从 中选出的一个元素属于 B，那么下一个随机选择的元素属于 A

11、 的概 率就定义为在 B 的前提下 A 的条件概率。当且仅当两个随机事件 A 与 B 满足 P(AB)=P(A)P(B).的时候，它们才是统计独立的，这样联合概率 可以表示为各自概率的简单乘积。同样，对于两个独立事件 A 与 B 有 P(A|B) = P(A)以及P(B|A) = P(B)换句话说，如果 A 与 B 是相互独立的， 那么 A 在 B 这个前提下的条件概率就是 A 自身的概率；同样，B 在 A 的前提下的条件概率就是 B 自身的概率。条件概率的公式为： P(A|B) = P(AB)/P(B) 根据以上公式，基本可以解决习题当中遇到的很多问题，另外也要注 意其互斥性，即： 当且仅当

12、 A 与 B 满足 P(AB)=P(A)+P(B) 且 P(AB)=0， 的时候，A 与 B 是互斥的。 因此， 换句话说，如果 B 已经发生，由于 A 和B不能在同一场合 下发生，那么 A 发生的概率为零；同样，如果 A 已经发生，那么 B 发 生的概率为零。以上是对第一章内容的总结。 通过本章学习，我们基本掌握了概率论与数理统计的学习方法，明白了“只 要功夫深，铁杵磨成针”的道理，对于这门课程学习的本身难度并不大，只 要我们潜心学习，按要求完成任务，就能收到良好的效果，同时对接下来要学习 的内容有了心理准备，空闲时间，我也对第二章的内容进行了预习，取得了一定 的收获。 第二章的主要内容是随

13、机变量及其分布，这也是本章主要的研究对象。 首先，通过预习，我了解了随机变量表示随机现象（在一定条件下，并不总 是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点）。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫 次数等等，都是随机变量的实例。了解“什么是随机变量”是本章学习的基础， 通过判断变量的类型，便于我们寻找问题的相关解决办法，否则，遇到问题我们 将无从着手。然而，要全面地了解一个随机变量，不但要知道它的定义，或 者取哪些值，而且要知道它取这些值的规律，这就引入了它的概率分布问 题。 概率分布可以由分布函数刻画。若知道一个随机变量的分布函数，则

14、它取任何值和它落入某个数值区间内的概率都可以求出。 有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如 ，子弹着点的位 置需要两个坐标才能确定，它是一个二维随机变量。类似地，需要n个随 机变量来描述的随机现象中，这n个随机变量组成n维随机向量。描述随 机向量的取值规律 ，用联合分布函数。随机向量中每个随机变量的分布函 数，称为边缘分布函数。若联合分布函数等于边缘分布函数的乘积 ，则称 这些单个随机变量之间是相互独立的。独立性是概率论所独有的一个重要 概念。那么，随机变量及其分布具有哪些性质呢？ 随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，其可能取各种 不同的值，具 有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为 随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。如分析测试中的测定 值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变 化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复 测定所得到的测定值具有统计规律性。随机变量与模